MARTINGALES THÉORIE DES

Exemples

Exemple 7 : Soit (N_t), t ≥ 0, le processus de comptage de Poisson de paramètre 1 et (F_t), t ≥ 0, la filtration naturelle de (N_t), t ≥ 0. La propriété pour (N_t), t ≥ 0, d'avoir ses accroissements indépendants permet d'obtenir que, avec t ≥ 0,

Exemple 8 : Un processus (B_t), t ≥ 0, continu, adapté à une filtration (F_t), t ≥ 0, est un mouvement brownien si, pour tout s et pour tout t positifs, la variable B_t+s − B_t est indépendante de F_t et suit une loi gaussienne centrée de variance s ; il est facile de voir, alors, que (B_t, F_t), t ≥ 0, et (B_t² − t, F_t), t ≤ 0, sont des martingales.

Le mouvement brownien peut être considéré comme « limite » des résultats d'un jeu de pile ou face lorsqu'on jette les pièces à des instants de plus en plus rapprochés ; plus précisément, si X_n = Y₁ + ... + Y_n est le gain cumulé par le joueur à l'instant n dans le jeu de pile ou face « bête » de l'exemple 1, on peut voir que la suite de processus

(où[nt]désigne la partie entière de nt, pour t ∈ R⁺ ) converge « en loi » vers le mouvement brownien (B_t). Cette propriété reste vraie si (Y_n) est une suite quelconque de variables aléatoires indépendantes, de même loi, centrées, de variance 1. Ainsi donc, puisque (X_n) est la somme de phénomènes indépendants entre eux et stationnaires, le brownien apparaît comme l'intégrale de phénomènes aléatoires infinitésimaux indépendants entre eux et stationnaires, c'est-à-dire de ce que les physiciens appellent le « bruit blanc ».

Régularité des trajectoires

Les trajectoires des martingales à temps continu ont des propriétés de régularité remarquables, provenant en particulier du théorème de convergence pour le cas discret : si (X_t), t ≥ 0, est une sous-martingale ou une sur-martingale, alors, en dehors d'un ensemble de probabilité nulle, la fonction r ↦ X_r(ω) définie sur les rationnels positifs admet une limite à droite et une limite à gauche.

Le théorème d'arrêt est valable pour toute sur-martingale ou bien pour toute sous-martingale continue à droite, en définissant un temps d'arrêt T, comme une application T : Ω → [0, ∞] telle que {T ≤ t} ∈ F_t pour tout t ≥ 0, et F_T étant la tribu ensemble des événements A tels que A ∩ {T ≤ t} ∈ F_t.

Et, comme on l'a dit plus haut, on a des théorèmes de convergence analogues à ceux du temps discret.

Semi-martingales et variation quadratique

Un processus (X_t), t ≥ 0, est dit à variation finie si, pour chaque ω, la fonction t ↦ X_t(ω) est à variation finie ou bornée sur tout compact de R⁺ : elle ne tremble qu'un peu.

Certaines martingales sont à variation finie (exemple 7) ; par contre, le mouvement brownien n'a pas cette propriété (et même presque toutes ses trajectoires sont à variation infinie) : en termes intuitifs,[...]