MODÈLES THÉORIE DES

« Modèle » est un terme qui appartient au vocabulaire de la plupart des sciences et qui a des significations multiples. Ainsi, dans les sciences humaines, on entend généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble de phénomènes, alors qu'en logique mathématique on parle des modèles d'une théorie. Dans ce qui suit, il s'agira exclusivement des modèles et de la théorie des modèles de la logique mathématique. Toute étude des structures mathématiques dans laquelle les questions de langage interviennent de façon essentielle fait partie de la théorie des modèles, qui peut être considérée comme fille de la logique et de l'algèbre universelle.

Les racines de la théorie des modèles plongent dans l'enfance de la logique mathématique, puisque, dès 1915, Löwenheim donnait une formulation rudimentaire d'un des résultats fondamentaux du sujet, connu aujourd'hui comme le théorème de Löwenheim-Skolem.

Le mathématicien Thoralf Skolem découvre dès les années 1920-1934 plusieurs des idées fondamentales de la théorie, dont il est une manière de pionnier. Mais cette théorie ne sort vraiment des limbes que vers les années 1945-1950, grâce à A. Tarski (dont le séminaire à Berkeley « lance » la nouvelle discipline), A. Robinson, L. Henkin. À vrai dire, le mathématicien soviétique A. Mal'cev développait de son côté, avec une bonne dizaine d'années d'avance, nombre des mêmes idées que ses collègues occidentaux, mais ceux-ci ne prirent connaissance de ses travaux que beaucoup plus tard.

Une nouvelle étape est franchie au début des années 1960 (travaux de Vaught, Chang, Keisler, Morley, Kochen...) et, à partir de 1968 environ, la théorie des modèles connaît un véritable épanouissement.

Nous devrons nous contenter ici de présenter certains des principaux outils de la théorie, puis d'en exposer l'application à l'un de ses plus brillants résultats, le théorème de catégoricité de Morley. Enfin, nous mentionnerons quelques applications aux mathématiques, surtout à l'algèbre.

Le présent article prend la suite de l'étude sur le Calcul de prédicats du premier ordre du chapitre Les notions fondamentales : la logique du premier ordre de l'article logique mathématique, dont il conserve en particulier les notations. D'autre part, on trouvera à l'article analyse non standard l'exposé d'une application fondamentale de la théorie et, à la fin de l'article récursivité, quelques indications sur son extension à des langages infinitaires.

Dès l'origine, la théorie des modèles s'est développée suivant deux axes principaux, selon le type de structures mathématiques auxquelles on songeait à l'appliquer. La problématique de ce que l'on peut appeler, pour être bref, l'école de Berkeley (Tarski et ses disciples, mais aussi, la géographie nonobstant, Skolem) provient de l'analyse, de la théorie des nombres et de la théorie des ensembles, tandis que l'école de Yale (A. Robinson et ses disciples, ainsi que Mal'cev) s'intéresse à l'algèbre. Pour les premiers, il n'y a pas lieu de borner la complexité des formules considérées, tandis que pour les seconds les formules à prendre en compte ont au plus deux blocs de quantificateurs de même nature (∀x₁...∀x_p∃y₁...∃y_qθ, où θ est sans quantificateur : formules dites ∀∃), voire un seul (∃x₁...∃x_pθ : formules existentielles, ou ∀x₁...∀x_pθ : formules universelles). La plupart des résultats présentés dans les chapitres 1 et 2 appartiennent à la première tradition, tandis que le chapitre 3 se place davantage dans la seconde.

Quelques outils fondamentaux

Nous supposons connues les notions de langage du premier ordre L, de L-structure (ou réalisation de L) et de satisfaction d'un énoncé ϕ (formule close, c'est-à-dire[...]