POTENTIEL THÉORIE DU

La théorie du potentiel, directement issue de l'électrostatique, est une source d'inspiration extrêmement riche en analyse. Si, au début du xix^e siècle, on connaissait déjà l'équation de Laplace, la fonction de Green et l'intégrale de Poisson dans la boule, ce n'est vraiment qu'avec C. F.  Gauss (1840) que sont posés et résolus, bien qu'imparfaitement, les grands problèmes de la théorie. Les idées de ce dernier sont si exemplaires qu'elles sont encore utilisées à l'heure actuelle, et il fallut attendre Frostman (1935) pour que le travail de Gauss fût amélioré en précision et en rigueur par l'introduction des outils nouveaux que s'était entre-temps forgés l'analyse.

On commencera par exposer les éléments fondamentaux qui permettront d'énoncer les problèmes et les principes les plus importants et les plus spécifiques de la théorie du potentiel : théorèmes de convergence, principe de domination, problème du balayage (cela afin d'arriver de la façon la plus directe à des résultats suffisamment précis). On se limitera ainsi au cas d'un ouvert borné, et on omettra de parler de « topologie fine » et de tout un chapitre de la théorie fine du potentiel. On ne pourra pas, non plus, parler des théories plus spéciales, comme par exemple la théorie très importante des potentiels besséliens d'Aronszajn et Smith. On envisagera quelques-unes des théories axiomatiques ou dérivées, issues de la théorie du potentiel, en mettant l'accent sur le lien avec la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles : c'est là un centre de recherche important.

Le sujet est immense et la théorie du potentiel occupe une position centrale en analyse. En étudiant l'existence d'une solution du problème de Dirichlet, I. Fredholm considéra l'équation intégrale qui porte son nom ; c'est aussi à l'occasion de l'étude d'un critère de polyharmonicité que Laurent Schwartz a été amené à définir les distributions. Les problèmes de Dirichlet et de Neumann sont également des problèmes fondamentaux de la théorie des équations aux dérivées partielles. Enfin, la théorie de la capacité peut être considérée comme un chapitre important de la théorie de la mesure (ou vice versa), et le théorème de représentation intégrale de Choquet est tout aussi surprenant par sa simplicité que par sa profondeur et son efficacité.

Fonctions surharmoniques et potentiels

Pour tout ensemble A de Rⁿ, on note ∂A sa frontière topologique et A− son adhérence. B(x, r) désigne une boule ouverte de centre x et de rayon r.

La mesure de Lebesgue est notée dx et on entend par fonction réelle une fonction à valeurs réelles prenant éventuellement les valeurs + ∞ et − ∞.

Fonctions surharmoniques et harmoniques

Une fonction réelle u définie dans un ouvert ω de Rⁿ, n ≥ 2, est dite hyperharmonique si elle est semi-continue inférieurement et > − ∞, et si, pour tout x ∈ ω et pour toute boule B = B(x, r), B− ⊂ ω, on a :

où dσ désigne la mesure superficielle de la boule et σ(B) l'aire de la boule B. On exprime cette dernière condition en disant que u majore sa moyenne sur toute boule.

De manière analogue, u est dite hypoharmonique si elle est semi-continue supérieurement et < + ∞ et si, avec les notations précédentes,

pour B− ⊂ ω.

Le module ou le logarithme du module d'une fonction holomorphe de la variable complexe z est hypoharmonique.

On dit qu'une fonction f définie dans un ouvert ω de Rⁿ vérifie le « principe du minimum » si, pour tout ouvert δ, avec δ− compact ⊂ ω, la condition :

pour tout x ∈ ∂δ, entraîne f ≥ λ dans δ.

Propriétés des fonctions hyperharmoniques

1. Dans un ouvert ω, une fonction hyperharmonique ne peut atteindre un minimum[...]