POTENTIEL THÉORIE DU

Balayage

On appelle S-fonction une fonction u localement bornée inférieurement qui vérifie, pour toute boule B(x, R), la relation :

où dσ est la mesure-aire de ∂B et ∫^* l'intégrale supérieure.

L'utilité de ces fonctions provient de ce que l'enveloppe inférieure d'une famille de S-fonctions localement bornée inférieurement est une S-fonction et que la régularisée semi-continue inférieurement d'une S-fonction est hyperharmonique.

Soit ω un ouvert borné de Rⁿ, E ⊂ ω, et ϕ une fonction ≥ 0 sur E. On note (R_ϕ^E)_ω ou R_ϕ^E l'enveloppe inférieure des fonctions v hyperharmoniques ≥ 0 dans ω qui majorent ϕ sur E. La fonction R_ϕ^E s'appelle la réduite de ϕ sur E et est une S-fonction ; c'est une fonction croissante de E, positivement homogène et sous-additive en ϕ.

La proposition 4 montre que R_ϕ^E est harmonique, ou égale à + ∞, en dehors de E.

Si ϕ est la trace d'une fonction surharmonique v ≥ 0, la régularisée ûR_v^E, alors surharmonique, est appelée la balayée de v sur E. Si E est suffisamment régulier (une boule, par exemple), la balayée vaut v sur E ; et, si v est un potentiel G_μ, la balayée, majorée par G_μ, est encore un potentiel qui vaut G_μ sur E. On peut donc écrire :

On dit que μ_E est la balayée de μ sur E et que μ_E engendre le même potentiel que G_μ sur E. On dit de façon imagée que l'on a balayé les masses sur E. C'est en fait ce qui se passe : si E est toujours un compact suffisamment régulier, μ_E est alors constituée des masses de μ portées par E, auxquelles viennent s'ajouter les masses de μ qui n'étaient pas portées par E. Une étude approfondie donne un résultat plus précis pour E quelconque.

Principe de domination

Plusieurs formes plus ou moins fortes du principe de domination peuvent être données, dont celle-ci : Si, dans un ouvert ω, une fonction surharmonique majore un potentiel G_μ, localement borné sur le support de μ, elle le majore partout. Si G_μ était continu, il ne s'agirait de rien d'autre que du principe du minimum.

Capacité

Soit K un compact d'un ouvert borné ω de Rⁿ. On appelle potentiel capacitaire de K la balayée ûR₁K de 1 sur K. La mesure qui l'engendre s'appelle la mesure capacitaire et μ(K) est la capacité de K, notée C(K). Grâce au principe de domination, on voit que ûR₁^K est le plus grand potentiel majoré par 1 dans ω ayant une masse associée ≥ 0 portée par K. Ce résultat donne la formule plus connue :

La capacité C est une fonction d'ensemble définie sur les compacts de ω et telle que :

1. La fonction C est une fonction croissante :

3. On a la propriété de sous-additivité forte. Pour tous compacts K₁ et K₂, on a :

On définit aussi la capacité intérieure C_*(E) et la capacité extérieure C*(E) d'un ensemble quelconque E par :

On montre que, pour E relativement compact dans ω, C*(E) est encore la masse totale de la mesure associée à ûR₁^E.

La fonction C* est croissante, descend sur les compacts et monte sur les ensembles quelconques ; cela signifie que, si (E_n) est une suite croissante d'ensembles quelconques, on a :

Ensembles exceptionnels

Il existe des ensembles de capacité strictement positive, qui sont très petits. Par exemple, dans le plan, l'ensemble fermé de Cantor sur le segment [0, 1] est de capacité strictement positive alors qu'il est non seulement de mesure nulle[...]