POTENTIEL THÉORIE DU

Énergie

La physique élémentaire nous apprend que l'unique charge électrique q du potentiel capacitaire V d'un conducteur donne un état d'équilibre et correspond à un minimum de l'énergie :

on dit que V est un potentiel d'équilibre. C'est cette idée qui conduisit Gauss, en 1840, à considérer l'intégrale :

où U^μ est le potentiel newtonien d'une mesure μ donnée par une densité sur une surface Σ rendant minimum l'intégrale. Or cela n'est vrai qu'avec des restrictions qui furent éclaircies par Frostman en 1935. Ce sont, au fond, les idées de Gauss qui sont à l'origine du travail de Cartan sur l'énergie dont il est question ci-dessous.

Dans Rⁿ, n ≥ 3, avec le noyau newtonien, on appelle énergie mutuelle de deux mesures μ et ν ≥ 0 la quantité :

pour toute mesure μ, on appelle énergie de μ le nombre ∥μ∥_e = √̅(μ|μ) et, à l'aide de l'inégalité fondamentale (non évidente),il est facile de voir que μ ↦ ∥μ∥_e est une semi-norme et, par suite, que l'ensemble des mesures positives ou nulles d'énergie finie est un cône convexe E⁺.

On considère ensuite l'espace vectoriel E = E⁺ − E⁺ et on prolonge de façon standard la semi-norme à E. L'inégalité fondamentale est encore vérifiée et la semi-norme prolongée est encore une semi-norme sur E.

Principaux théorèmes

Théorème 6 (principe de l'énergie de Frostman) : La semi-norme ∥μ∥_e est une norme sur E.

Corollaire 7 : L'espace E est un espace préhilbertien muni du produit scalaire (μ|ν).

Théorème 8 (principe de domination ou principe du maximum de Cartan) : Soit μ ∈ E et v surharmonique positive majorant U^μ sur un support restreint de u (c'est-à-dire un ensemble dont le complémentaire est de μ-mesure nulle) ; alors v majore U^μ partout dans Rⁿ.

Théorème fondamental (Cartan) : Le cône convexe E⁺ est complet dans E.

On utilise pour la démonstration de ce théorème le théorème de représentation de Riesz (théorème 3). Un exemple de Cartan montre que E n'est pas complet.

Si K est un compact de Rⁿ, on peut montrer que l'ensemble F_K des mesures λ ∈ E⁺ portées par K est un cône convexe complet de E ; on obtient (9) et (10).

Théorème 9 (du balayage) : Soit μ ∈ E⁺. La projection μ_K de μ sur F_K est caractérisée comme la seule mesure ≥ 0 sur K telle que, d'une part, on a partout l'inégalité :

et, d'autre part, pour toute mesure λ ∈ E⁺, on a, λ-presque partout,On voit que μ_K est la balayée de μ grâce à la remarque qui suit le théorème 5 et au théorème suivant.

Théorème 10 : Un borélien de Rⁿ est polaire si et seulement s'il est de λ-mesure nulle pour toute mesure λ ∈ E⁺.

Norme et principe de Dirichlet

Soit P₀ l'espace des fonctions numériques possédant un gradient fini continu de carré intégrable. Pour toute u ∈ P₀, on pose :

L'application u ↦ ∥u∥ est une semi-norme dans P₀ associée au produit scalaire :

la condition ∥u∥ = 0 équivaut à u constante.

Pour obtenir une norme on passe au quotient P par la relation d'équivalence naturelle. La norme correspondante s'appelle la norme de Dirichlet. Par commodité de langage, on confond une fonction de P₀ avec sa classe d'équivalence dans P.

Théorème 11 : Le sous-espace H des fonctions harmoniques est complet dans P.

Cela permet d'énoncer le principe de Dirichlet : pour toute fonction f ∈ P, il existe une fonction harmonique u ∈ H unique rendant minimum le nombre ∥u − f ∥.

En effet, H étant un sous-espace complet, on obtient u par projection.

On peut ainsi résoudre le problème de Dirichlet dans les conditions suivantes : Soit ω un domaine borné de Rⁿ, n ≥ 2, et f une fonction de P₀ bornée dans ω et admettant un prolongement[...]