POTENTIEL THÉORIE DU

Méthodes hilbertiennes

L'espace E des mesures d'énergie finie n'étant pas complet, Deny, en 1950, introduit les éléments du complété en développant une théorie du potentiel dans Rⁿ, où le noyau est une distribution et le potentiel un produit de convolution de distributions (cf. distributions [Mathématiques]). Avec quelques restrictions, la théorie de Cartan peut être adaptée. Dans l'axiomatisation par Beurling et Deny des espaces de Dirichlet, on utilise le fait que la norme de Dirichlet est diminuée par les contractions normales : Si v varie moins vite que u, l'intégrale de Dirichlet relative à v est plus petite que l'intégrale de Dirichlet relative à u. Cette remarque, due à A. Beurling, permet de donner des démonstrations très courtes et très élégantes des résultats fondamentaux de la théorie du potentiel. Elle permet aussi de démontrer des théorèmes profonds de synthèse spectrale en analyse harmonique.

Théories axiomatiques sans noyaux

La théorie axiomatique de Brelot et de ses extensions ultérieures (Bauer, Constantinescu et Cornea) est inspirée d'une axiomatique probabiliste de Doob et fut précédée d'une tentative due à Tautz. Le principe en est le suivant.

Dans un espace Ω localement compact, on considère un faisceau d'espace vectoriel de fonctions numériques continues, appelées harmoniques (axiome 1). On suppose qu'il existe une base de domaines réguliers, c'est-à-dire tels qu'il existe une solution du problème de Dirichlet (axiome 2), et enfin (axiome 3) que tout ensemble filtrant croissant de fonctions harmoniques dans un domaine ω tend vers + ∞ ou une fonction harmonique. La théorie se développe considérablement si l'on ajoute le principe de domination (axiome D) comme nouvel axiome.

Les solutions dans un ouvert d'une équation du deuxième ordre de type elliptique à coefficients suffisamment réguliers vérifient les axiomes. Il en est de même, ce qui est plus difficile, pour des équations à coefficients discontinus (M^me Hervé). Cela apporte de considérables simplifications à l'étude directe de ces équations faites par Stampacchia.

En revanche, les solutions d'équations de type parabolique ne vérifient pas les axiomes 3 et D. C'est pourquoi Bauer modifia l'axiomatique précédente par l'introduction d'un nouvel axiome et l'affaiblissement de l'axiome 3, afin de contenir, dans les applications, les solutions d'équations de ce type.

Enfin, J. M. Bony est arrivé à caractériser de façon presque complète, en termes d'opérateurs différentiels, les théories axiomatiques du type Brelot, Bauer... dans Rⁿ.

Soit, par exemple, H une théorie axiomatique de Brelot telle qu'il y ait « suffisamment » de fonctions de classe C^∞. Il existe alors un ouvert dense dans lequel est défini un opérateur différentiel L à coefficients de classe C^∞ tel que toute fonction harmonique de classe C² vérifie Lu = 0 et même encore, au sens des distributions, si u n'est pas de classe C².

Théorie de Hunt et probabilités

Soit Ω un espace localement compact. On appelle noyau N une famille }μ_x{ de mesures dépendant mesurablement (en un sens à préciser) de x. On note μ_x(E) = N(x, E). À toute f borélienne ≥ 0, on associe :

L'exemple classique est le noyau :

On dit que N satisfait au principe complet du maximum si, pour toute constante a ≥ 0 et tout couple (f, g) de fonctions positives universellement mesurables, la relation :

Avec certaines restrictions satisfaites dans les applications, G. A. Hunt montre qu'on peut associer à un noyau N, satisfaisant au principe complet du maximum, un semi-groupe P_t (défini pour t ≥ 0, P_s+t = P_s∘ P_t) de noyaux, vérifiant des conditions de continuité à l'origine, tel que :

Dans les bons cas, P_t peut être interprété comme le semi-groupe de transition d'un processus de Markov. De tels processus sont appelés processus de Hunt. Dans le cas particulier du mouvement brownien, le générateur infinitésimal (dérivée à l'origine du semi-groupe) est l'opérateur Δ, ce qui permet d'identifier les fonctions surharmoniques et les fonctions excessives. Il en est de même dans le cas général d'une théorie axiomatique du type Brelot. M^me Hervé a construit un noyau vérifiant des conditions qui permirent à P. A. Meyer de montrer l'existence d'un semi-groupe dont les fonctions excessives sont précisément les fonctions surharmoniques de la théorie.

Cette identification va beaucoup plus loin et permet d'interpréter en termes probabilistes les faits les plus importants de la théorie du potentiel : balayage, effilement, espace de Martin, etc. La théorie du potentiel est donc une source d'inspiration considérable pour les probabilistes qui s'occupent des processus markoviens.

Théorème de représentation intégrale

Les fonctions harmoniques positives dans un ouvert borné ω ⊂ Rⁿ forment un cône convexe C ; celles qui valent 1 en un point forment une base convexe compacte B (pour la convergence compacte) du cône et les fonctions minimales de cette base sont les éléments extrémaux de B. On peut aussi interpréter la représentation intégrale de Martin d'une fonction u ∈ B en disant que u est le barycentre d'une mesure μ portée par l'ensemble des points extrémaux (modulo une identification des éléments minimaux, c'est-à-dire extrémaux, de B avec les points de l'ensemble Γ₁ défini à la fin du chapitre 2).

Cette remarque a permis à G.  Choquet de démontrer le théorème extrêmement profond qui suit.

Théorème. Soit C un cône convexe et B une base compacte de C. Si B est métrisable, tout x ∈ B est barycentre d'une mesure unitaire μ portée par l'ensemble des points extrémaux. De plus, si C est réticulé pour son ordre, μ est unique.

Si B n'est pas métrisable, le problème est beaucoup plus compliqué. En particulier, l'ensemble des points extrémaux n'est pas nécessairement mesurable.

On peut partir de ce théorème pour retrouver la représentation intégrale de Martin : c'est une méthode beaucoup plus simple. Ce théorème permet également de donner une représentation intégrale de Riesz dans les espaces harmoniques de Brelot (M^me Hervé, G. Mokobodski) et même, sous une forme moins satisfaisante, dans les axiomatiques affaiblies (Mokobodski).

Théorie de la capacité

Une capacité généralisée, au sens de Choquet, sur un espace topologique séparé X est une fonction réelle C d'ensemble, définie sur toutes les parties de X ; elle est croissante, descend sur les compacts et monte sur les ensembles quelconques. La capacité extérieure classique dans Rⁿ et les mesures extérieures sur X localement compact sont des exemples de capacité généralisée. Un ensemble A ⊂ X est dit capacitable si :

Pour terminer, indiquons un théorème, dû à Choquet, qui est très utile en théorie de la mesure et en théorie des probabilités. Il nous faut pour cela donner quelques définitions : On dit qu'un ensemble dans un espace topologique est un K_σ si c'est une réunion dénombrable d'ensembles compacts ; un K_σδ est un ensemble qui est intersection dénombrable de K_σ ; enfin, on dit qu'un sous-ensemble A d'un espace topologique séparé est analytique si A est l'image continue d'un K_σδ contenu dans un espace compact. Le théorème de Choquet s'énonce alors : Tout ensemble analytique contenu dans un K_σ est capacitable.