POTENTIEL THÉORIE DU

Méthodes hilbertiennes

L'espace E des mesures d'énergie finie n'étant pas complet, Deny, en 1950, introduit les éléments du complété en développant une théorie du potentiel dans Rⁿ, où le noyau est une distribution et le potentiel un produit de convolution de distributions (cf. distributions [Mathématiques]). Avec quelques restrictions, la théorie de Cartan peut être adaptée. Dans l'axiomatisation par Beurling et Deny des espaces de Dirichlet, on utilise le fait que la norme de Dirichlet est diminuée par les contractions normales : Si v varie moins vite que u, l'intégrale de Dirichlet relative à v est plus petite que l'intégrale de Dirichlet relative à u. Cette remarque, due à A. Beurling, permet de donner des démonstrations très courtes et très élégantes des résultats fondamentaux de la théorie du potentiel. Elle permet aussi de démontrer des théorèmes profonds de synthèse spectrale en analyse harmonique.

Théories axiomatiques sans noyaux

La théorie axiomatique de Brelot et de ses extensions ultérieures (Bauer, Constantinescu et Cornea) est inspirée d'une axiomatique probabiliste de Doob et fut précédée d'une tentative due à Tautz. Le principe en est le suivant.

Dans un espace Ω localement compact, on considère un faisceau d'espace vectoriel de fonctions numériques continues, appelées harmoniques (axiome 1). On suppose qu'il existe une base de domaines réguliers, c'est-à-dire tels qu'il existe une solution du problème de Dirichlet (axiome 2), et enfin (axiome 3) que tout ensemble filtrant croissant de fonctions harmoniques dans un domaine ω tend vers + ∞ ou une fonction harmonique. La théorie se développe considérablement si l'on ajoute le principe de domination (axiome D) comme nouvel axiome.

Les solutions dans un ouvert d'une équation du deuxième ordre de type elliptique à coefficients suffisamment réguliers vérifient les axiomes. Il en est de même, ce qui est plus difficile, pour des équations à coefficients discontinus (M^me Hervé). Cela apporte de considérables simplifications à l'étude directe de ces équations faites par Stampacchia.

En revanche, les solutions d'équations de type parabolique ne vérifient pas les axiomes 3 et D. C'est pourquoi Bauer modifia l'axiomatique précédente par l'introduction d'un nouvel axiome et l'affaiblissement de l'axiome 3, afin de contenir, dans les applications, les solutions d'équations de ce type.

Enfin, J. M. Bony est arrivé à caractériser de façon presque complète, en termes d'opérateurs différentiels, les théories axiomatiques du type Brelot, Bauer... dans Rⁿ.

Soit, par exemple, H une théorie axiomatique de Brelot telle qu'il y ait « suffisamment » de fonctions de classe C^∞. Il existe alors un ouvert dense dans lequel est défini un opérateur différentiel L à coefficients de classe C^∞ tel que toute fonction harmonique de classe C² vérifie Lu = 0 et même encore, au sens des distributions, si u n'est pas de classe C².

Théorie de Hunt et probabilités

Soit Ω un espace localement compact. On appelle noyau N une famille }μ_x{ de mesures dépendant mesurablement (en un sens à préciser) de x. On note μ_x(E) = N(x, E). À toute f borélienne ≥ 0, on associe :

L'exemple classique est le noyau :

On dit que N satisfait au principe complet du maximum si, pour toute constante a ≥ 0 et tout couple ([...]