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ERGODIQUE THÉORIE

Ergodique vient du mot grec ἔργον qui signifie travail. C'est en effet d'un problème de mécanique que la théorie ergodique est issue. À l'origine se trouve une hypothèse de la théorie cinétique des gaz, audacieusement posée par L.  Boltzmann en 1885, qui permettait aux physiciens de résoudre une difficulté liée à l'étude des systèmes mécaniques à un très grand nombre de particules. L'importance de cette hypothèse, confirmée expérimentalement dans de nombreux cas, conduisit les mécaniciens à en chercher une justification théorique et ce sont les diverses tentatives faites dans cette voie qui marquent les débuts de la théorie ergodique.

Après les résultats fondamentaux, obtenus par J. von Neumann et G. D. Birkhoff en 1931 à quelques semaines d'intervalle, la théorie ergodique s'est développée au sein de la mathématique dans des directions diverses : analyse fonctionnelle et théorie des groupes ; calcul des probabilités et plus précisément processus markoviens ; théorie de l'information, etc. Les méthodes ergodiques ont permis d'exposer différemment certains problèmes et de donner des prolongements nouveaux à ces branches de la mathématique. L'étude de la théorie ergodique suppose la connaissance de la théorie de la mesure.

Le modèle de Poincaré et l'hypothèse ergodique

Pour expliquer l'hypothèse ergodique, il est commode d'avoir recours à un modèle très simple imaginé par H.  Poincaré. Supposons un liquide en mouvement stationnaire dans un récipient Ω de forme invariable et complètement rempli. Si une molécule du liquide occupe la position ω0 à l'instant 0 et ωt à l'instant t, on peut décrire le passage de l'instant 0 à l'instant t et, plus généralement, de l'instant s à l'instant s + t, au moyen d'une transformation ponctuelle θt opérant dans Ω, pour laquelle :

et :
et cela pour toutes les molécules de liquide. Il va de soi que ces transformations forment un groupe, c'est-à-dire que :
quels que soient s, t ∈ R ; ou bien, si l'on se désintéresse du passé, un semi-groupe en ne considérant la condition (1) que pour des valeurs positives ou nulles s et t. Pour t = 0, θ0 désigne la transformation identique de Ω. On peut envisager une simplification supplémentaire en se limitant aux instants discrets..., − 2, − 1, 0, 1, 2, ... et, en posant θ1 = θ, se ramener à l'étude du groupe G à un générateur θ :
ou bien du semi-groupe :

En outre, l'incompressibilité du liquide amène à poser la condition suivante : Si E est un volume partiel de Ω et si :

alors les mesures de E et de θ-1E sont égales ; autrement dit, la transformation θ conserve la mesure. Pour un point donné ω ∈ Ω, l'ensemble :
est appelé trajectoire de ω. On dit qu'un point ω est topologiquement infiniment récurrent si tout voisinage de ce point possède une infinité de points de sa trajectoire. On peut alors énoncer le théorème de récurrence qui peut être considéré comme le premier théorème ergodique et qui fut établi par H. Poincaré en 1890.

Théorème de Poincaré. Presque tout point de Ω est topologiquement infiniment récurrent.

En vérité, cela n'est pas exactement l'énoncé donné par le célèbre géomètre qui ne pouvait pas faire usage à cette époque de la théorie de la mesure de Lebesgue, théorie qui permit quelques années plus tard de prouver le théorème de Poincaré.

Revenant au problème général, considérons un système mécanique S constitué par N particules. L'état de S à chaque instant est déterminé par la connaissance des 3 N coordonnées des particules et des 3 N composantes de leurs vitesses. Ces états peuvent ainsi être représentés par des points ω de l'espace R6N appelé espace de phase. Il peut être aussi plus commode de substituer[...]

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