ERGODIQUE THÉORIE

Les théorèmes de G. D. Birkhoff et de J. von Neumann

On va maintenant formaliser le problème ergodique. On se donne un espace compact Ω et une mesure de Radon positive m sur Ω (cf. intégration et mesure ; on peut se placer dans des situations plus générales, mais on n'a pas jugé utile de le faire ici), qui est aussi une probabilité m(Ω) = 1 (cf. calcul desprobabilités). On se donne aussi une transformation mesurable θ : Ω → Ω et on suppose que θ conserve la mesure, c'est-à-dire que θ vérifie la condition :

pour tout ensemble mesurable E. Cette condition entraîne que θ^-1E est négligeable si E est négligeable, c'est-à-dire m(E) = 0.

Théorème de Birkhoff. Soit f une fonction complexe et intégrable sur Ω ; la suite des moyennes de Cesaro :

converge presque partout sur Ω vers une fonction intégrable f̃ ; cette fonction f̃ est θ-invariante (c'est-à-dire f̃ = f̃ ∘ θ) et enfin :quel que soit l'ensemble mesurable A invariant, c'est-à-dire tel que A = θ^-1A.

Dans le cas particulier où la condition (E) suivante est satisfaite : les seuls ensembles invariants sont modulo les ensembles négligeables, l'ensemble Ω et l'ensemble vide, les fonctions invariantes sont les fonctions constantes presque partout (p.p.), et le théorème de Birkhoff donne l'égalité :

autrement dit le système (Ω, m, θ) vérifie l'hypothèse ergodique si la condition (E) est remplie. On dit dans ce cas que θ est transitivement métrique ou encore que θ est ergodique.

Quelques semaines avant que G. D. Birkhoff eût donné son résultat, J. von Neumann avait établi le théorème suivant en faisant les mêmes hypothèses que pour le théorème de Birkhoff.

Théorème de von Neumann. Soit f une fonction complexe sur Ω, de carré intégrable ; la suite des fonctions :

converge en moyenne quadratique vers une fonction f̃ de carré intégrable et θ-invariante ; autrement dit :et :

Il n'est pas question de donner ici les démonstrations de ces théorèmes, mais il est utile d'ajouter quelques indications sur ces preuves pour montrer en particulier les liens existant entre la théorie ergodique et l'analyse fonctionnelle.

Dans ces théorèmes intervient une transformation agissant non pas sur les points de Ω mais plutôt sur les fonctions définies sur Ω. Il s'agit de l'application :

Pour éviter des difficultés techniques, on ne distinguera pas des fonctions égales presque partout ; et, d'ailleurs, l'hypothèse d'invariance de la mesure entraîne que, si f est négligeable, c'est-à-dire

f ∘ θ l'est aussi.

Cela posé, soit L^p l'espace des fonctions complexes sur Ω de puissances p-ièmes intégrables :

p étant un nombre réel donné 1 ≤ p < + ∞. On sait que L² est muni d'une structure d' espace de Hilbert (cf. espace dehilbert) où le produit hermitien de deux éléments f₁ et f₂ est défini par :f₂ est la conjuguée complexe de f₂ et la norme d'un élément f est :

Alors il est facile de voir que T est un opérateur linéaire et unitaire sur L². Cela étant, et sans entrer dans les détails, la démonstration du théorème de von Neumann repose sur le fait qu'il existe dans L² deux sous-espaces fermés et orthogonaux J et H tels que tout f ∈ L² s'écrive d'une seule manière : f = g + h, avec g ∈ I et h ∈ H, où I est le sous-espace des invariants (g ∈ I ⇔ g = Tg) et H est l'adhérence du sous-espace image de I − T.

On ne dira rien de la preuve donnée par Birkhoff de son théorème, mais on donnera une indication sur la démonstration proposée par Yosida et Kakutani. Elle est fondée sur le lemme suivant, nommé par ces auteurs « théorème ergodique maximal ».

Soit f ∈ L¹ et E l'ensemble des ω pour lesquels l'une au moins des sommes :

est positive ;[...]