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ERGODIQUE THÉORIE

Systèmes dynamiques

On ne donnera pas de définition générale et on se limitera aux systèmes (Ω, m, θ) ayant les propriétés énoncées au début du paragraphe 2 en renvoyant à l'article systèmes dynamiques. On appelle un tel triplet S = (Ω, m, θ) un système dynamique. Soit S = (Ω′, m′, θ′) un autre système dynamique. On dira que S′ est image homomorphe de S s'il existe une injection mesurable ϕ : Ω → Ω′ telle que ϕ ∘ θ = θ′ ∘ ϕ et m′ = ϕ(m). Si ϕ est bijective et si chacun des systèmes S et S′ est image homomorphe de l'autre par ϕ et ϕ-1, S et S′ sont dits spatialement isomorphes. Cela étant, on peut poser la question suivante : Deux systèmes dynamiques donnés sont-ils isomorphes ? Pour y répondre, il est bon de rechercher les invariants d'un système dynamique S, c'est-à-dire les objets attachés à S qui ne varient pas dans un isomorphisme spatial. Dans le chapitre 2, on a associé à la transformation θ un opérateur unitaire T dans L2(m). Il est alors facile de vérifier que les valeurs propres de T sont des invariants de S.

Un autre invariant fondamental des systèmes dynamiques est l' entropie ou invariant de Kolmogoroff-Sinaï qui peut se définir de la façon suivante : Désignons par χ la fonction réelle continue et positive sur [0, 1], telle que χ(x) = − x lg x, pour 0 < x ≤ 1 ; à toute partition mesurable finie :

de Ω, faisons correspondre le nombre H(Π) défini par :

On observe que, pour tout entier k,

est une autre partition de Ω et l'invariance de la mesure entraîne que :

La fonction χ est concave et l'on en déduit, pour deux partitions Π et Π′, que :

en notant Π ∨ Π′ la partition engendrée par Π et Π′. Les propriétés (5) et (6) permettent de prouver l'existence de la limite :
et aussi l'inégalité :

On pose alors :

la borne supérieure étant prise sur l'ensemble des partitions mesurables finies Π de Ω. Le nombre Ĥ (éventuellement + ∞) est l'entropie du système S. Ajoutons que cette notion est très voisine de celle qui est utilisée par Boltzmann dans la théorie cinétique des gaz et qu'elle a été l'objet de profonds et difficiles travaux de Sinaï qui, par là, a fait un pas important vers la solution du problème fondamental de la théorie ergodique (cf. chap. 1).

Pour terminer, donnons un exemple. Soit A = {a1, a2, ..., an} un ensemble à n éléments ; munissons-le de la topologie discrète et de la mesure de probabilité équirépartie :

pour i = 1, 2, ..., n. Posons Ω = AZ ; chaque élément de Ω est une suite infinie dans les deux sens ω = (..., ω-1, ω0, ω1, ...) d'éléments de A. Avec la topologie produit, Ω est un espace compact sur lequel agit la transformation θ définie par (θω)j = ωj+1, appelée shift-transformation. Si m désigne la probabilité produit sur Ω, le triplet (Ω, m, θ) est un système dynamique qui joue un rôle important en théorie de l'information. Choisissons la partition :
où Ω i = {ω|ω0 = ai}. Il est clair que m(Ω i) = 1/n et que H(Π) = log n. On peut alors prouver que l'entropie Ĥ de ce système dynamique est log n, ce qui montre en particulier que les systèmes obtenus pour des valeurs distinctes de n ne sont pas spatialement isomorphes.

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