ERGODIQUE THÉORIE
Théorie ergodique, probabilités et potentiels
Les problèmes de convergence qui sont abordés au chapitre 2 concernent l'opérateur T : f ↦ Tf = f ∘ θ agissant dans L1(m) ou L2(m). Cet opérateur possède les propriétés qui suivent :
a) T est linéaire ;
b) T est positif : f ≥ 0 ⇒ Tf ≥ 0 ;
c) T est une contraction, c'est-à-dire : ∥Tf∥1 ≤ ∥f∥1 pour tout f ∈ L1(m).
On peut aussi considérer de façon plus générale des endomorphismes de l'espace (réel) L1(m) possédant les propriétés précédentes et non nécessairement induits par des transformations ponctuelles θ. De tels opérateurs se présentent naturellement dans la théorie des processus markoviens. Ils sont définis à partir d'un noyau N : Ω × B → R̄+ (B désignant la tribu des ensembles mesurables de Ω) où l'on suppose que l'application partielle ω ↦ N (ω, A) est mesurable pour A constant et que l'application A ↦ N(ω, A), ω étant fixé, est une probabilité (ou une sous-probabilité) sur B. À tout f ∈ L1 on associe la mesure réelle μ f sur (Ω, B) par la formule :
Si l'on suppose que μf est absolument continue par rapport à m, et cela quel que soit f, la densité Tf = dμf dm est la transformée de f par T. La vérification des propriétés a, b et c est immédiate.
Le théorème ergodique général, établi en 1960 par Chacon et Ornstein, pour une contraction positive T affirme que : Quelles que soient les fonctions intégrables f et g, g ≥ 0, l'expression :
Chacon a, de plus, explicité cette limite. Cet important théorème, faisant suite à des travaux de Doob et de E. Hopf, a été aussi prouvé par J. Neveu par des méthodes probabilistes.
Le lien avec la théorie du potentiel découle de recherches faites par A. Brunel, par P. A. Meyer et par Ackoglu qui ont utilisé le lemme suivant, appelé lemme ergodique maximal.
Soit f ∈ L1 (réel) et A ∈ B tel que :
L'opérateur tT qui agit dans L∞ se définit par dualité : Quels que soient f ∈ L1 et g ∈ L∞,
On a voulu montrer comment la théorie ergodique s'est développée et ramifiée à partir du problème fondamental posé par l'hypothèse ergodique. Il n'était pas possible de résumer ici d'autres travaux difficiles, par exemple ceux qui concernent les groupes ou les semi-groupes de transformations ou d'opérateurs.
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Écrit par
- Antoine BRUNEL : professeur à la faculté des sciences de Reims.
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