SPECTRALE THÉORIE

Applications linéaires compactes

Historiquement, la notion d' application linéaire compacte s'est introduite sous le nom d'application complètement continue : étant donné deux espaces vectoriels normés E et F, une application linéaire u de E dans F est dite complètement continue si de toute suite bornée (x_n) d'éléments de E on peut extraire une suite (y_p) telle que la suite (u(y_p)) soit convergente dans F.

F.  Riesz fut le premier à remarquer que cette condition permet de retrouver tous les résultats de la théorie de Fredholm (cf. équations intégrales, chap. 5). En utilisant la caractérisation des espaces métriques compacts à l'aide de la condition de Bolzano-Weierstrass, on voit immédiatement qu'une application linéaire u de E dans F est complètement continue si et seulement si l'image par u de la boule unité de E est une partie relativement compacte de F. Sous cette forme, la notion d'application complètement continue peut se généraliser aux espaces vectoriels topologiques.

Plus précisément, soit E et F deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés. On dit qu'une application linéaire u de E dans F est compacte (resp. précompacte) s'il existe un voisinage V de 0 dans E tel que u(V) soit une partie relativement compacte (resp. précompacte) de F.

Toute application compacte est précompacte ; la réciproque est vraie si l'espace vectoriel F est complet ou, plus généralement, si toute partie fermée bornée de F est complète. Toute application précompacte est continue ; la réciproque est fausse. Ainsi, pour que l'application identique I_E de E soit précompacte, il faut et il suffit que E soit de dimension finie, auquel cas elle est compacte (lemme de F. Riesz).

Les applications compactes de E dans F constituent un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F.

Soit u une application linéaire continue de E dans F et v une application linéaire continue de F dans un troisième espace G. Si l'une des applications u et v est compacte, il en est de même de l'application composée v ∘ u. En particulier, les endomorphismes compacts de E constituent un idéal bilatère de l'algèbre L(E) des endomorphismes continus de E.

Soit E′ et F′ les duaux topologiques de E et de F, munis de la topologie de la convergence uniforme sur les disques compacts. Alors, si u est compact, il en est de même de ^tu.

Enfin, toute application linéaire de rang fini est compacte.

On peut énoncer des propriétés analogues pour les applications précompactes.

Revenons au cas particulier où les espaces E et F sont normés ; munissons l'espace vectoriel L(E, F) de la norme des applications linéaires continues, à savoir la norme de la convergence uniforme sur la boule unité de E. Alors les applications précompactes de E dans F constituent un sous-espace vectoriel fermé de L(E, F). Il en est de même des applications compactes de E dans F, lorsque F est complet. Il en résulte que la limite en norme d'une suite d'applications de rang fini est une application compacte. Réciproquement, lorsque l'espace vectoriel F est hilbertien, toute application compacte de E dans F est limite d'une suite d'applications de rang fini. Lorsque F est un espace de Banach, cette réciproque se ramène au problème suivant : l'application identique d'un espace de Banach est-elle limite forte de projecteurs de rang fini (propriété d'approximation) ? Ces deux problèmes ont été résolus par la négative en 1976.

Supposons maintenant que E et F sont des espaces de Banach ; soit E′ et F′ les duaux topologiques de E et de F, munis des normes correspondantes. Pour qu'une application linéaire continue u de E dans F soit compacte, il faut et il suffit que sa transposée ^tu soit une[...]