STATISTIQUE THERMODYNAMIQUE

Problèmes ergodiques en mécanique statistique

Notons d'abord que les développements récents de la mécanique analytique ont permis d'approfondir les idées sur la nature du mouvement des systèmes conservatifs. D'après les lois de la dynamique, le mouvement d'un système classique est représenté par une trajectoire dans l'espace des phases. Mais la notion de trajectoire implique la possibilité d'une détermination d'un état instantané du système, avec une précision absolue. Or, en physique, toutes les mesures qu'on peut effectuer sont d'une précision finie. Par conséquent, la description de l'évolution en termes de trajectoires est une idéalisation valable uniquement quand le mouvement est stable. Des recherches mathématiques en mécanique ont montré que, à l'exception de systèmes très simples, le mouvement est, en général, structuralement instable et dépend d'une manière extrêmement sensible aux conditions initiales. N'importe quel domaine de l'espace des phases, aussi petit soit-il, contient des trajectoires fortement divergentes ou qualitativement distinctes. Dans cette situation, la notion de trajectoire est une idéalisation physiquement inobservable : une description probabiliste en termes de fonction(s) de distribution s'impose alors, et c'est pour cette raison que l'introduction des méthodes probabilistes en mécanique, c'est-à-dire l'introduction de la mécanique statistique, se justifie.

Considérons maintenant un système en équilibre, c'est-à-dire dans un état correspondant à une solution stationnaire de l'équation de Liouville (cas classique) ou de celle de von Neumann (cas quantique). Le système est dit ergodique si la valeur moyenne, équation (1) ou (2), d'un observable quelconque est égale à la moyenne temporelle (cf. mécanique statistique et théorie ergodique). Pour un système fini dont l'énergie est fixée, il n'existe qu'un seul état d'équilibre (la distribution microcanonique) et l'opérateur de Liouville ou de von Neumann admet une valeur propre simple nulle. L'ergodicité est une condition suffisante pour la justification d'une description probabiliste des phénomènes indépendants du temps au sein d'un système dynamique.

Néanmoins, pour un système dont l'état initial est arbitraire, cette propriété d'ergodicité ne permet pas d'assurer que les valeurs moyennes des observables atteignent effectivement leur valeur d'équilibre. Pour que l'approche vers l'état d'équilibre soit assuré, des conditions plus sévères doivent être satisfaites. En effet, on peut formuler une hiérarchie des conditions, chacune impliquant la précédente et, parmi celles-ci, l'ergodicité est la plus faible. Ces conditions caractérisent le degré d'instabilité du mouvement et dans quel sens, toutefois, le système peut approcher l'équilibre statistique. Ce sont des conditions liées aux propriétés spectrales du générateur L du groupe d'évolution U_t et, en particulier, à l'apparition d'un spectre continu (cf. théorie spectrale).

Il existe des systèmes classiques finis (mais non hamiltoniens), notamment le modèle d'un gaz de sphères impénétrables, dont les trajectoires dans l'espace des phases sont hautement instables, et même dans un sens aléatoire. Par contre, les systèmes hamiltoniens ne sont en général ni ergodiques ni intégrables, et, dans l'espace des phases, on observe un mélange des trajectoires stables et aléatoires. Il s'ensuit que, au moins pour une classe de conditions initiales, une approche vers une distribution uniforme peut être obtenue. Dans le cas des systèmes quantiques finis, le spectre du hamiltonien et celui de l'opérateur de von Neumann sont discrets. Par conséquent, les valeurs moyennes des observables sont des fonctions quasi périodiques[...]