TOPOLOGIE Topologie algébrique

Inventée au début du xx^e siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie (chapitres 1 à 5), les problèmes géométriques sont traités d'une façon très concrète ; dans la seconde partie (chapitres 6 et 7) sont rassemblées toutes les notions algébriques.

On emploiera les notations et abus de langage suivants.

« Espace » signifie « espace topologique » et « application » signifie « application continue ».

Le segment [0, 1] de la droite réelle est noté I ; un « arc joignant x à y dans l'espace X » est, par définition, une application de I dans X qui envoie 0 sur x et 1 sur y.

La boule unité de Rⁿ, pour la distance euclidienne, est notée Dⁿ ; son bord est la sphère Sⁿ⁻¹.

Si l'on a deux homomorphismes de groupes (ou de A-modules) :

on dit que la suite :

est exacte si l'image de α est égale au noyau de β, soit Im α = Ker β, c'est-à-dire, si, pour un élément h de H, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

a) on a β(h) = 0,

b) il existe g dans G tel que α(g) = h.

On désigne par O le groupe (ou le A-module) réduit à son élément neutre ; donc, la suite :

est exacte si et seulement si α est injectif ; de même, la suite :

est exacte si et seulement si α est surjectif.

Homotopie

À la notion banale de déformation continue des figures, on fait correspondre deux notions mathématiques. L'une, plus précise, est l'isotopie ; l'autre, plus générale, est l' homotopie.

Applications homotopes

Deux applications f et g de l'espace X dans l'espace Y sont dites homotopes s'il existe une application h de X × I dans Y telle que, pour tout point x de X, on ait h(x, 0) = f (x) et h(x, 1) = g(x). Cela définit, sur l'ensemble Hom(X, Y) des applications de X dans Y, une relation d'équivalence ; les classes d'équivalence sont appelées les classes d'homotopie d'applications de X dans Y. Si X est un espace compact et Y un espace métrique et si l'on munit Hom(X, Y) de la topologie de la convergence uniforme, dire que f et g sont homotopes, c'est dire qu'il existe un arc γ dans Hom(X, Y) qui joint f à g : si h est l'homotopie, γ(t) est l'application de X dans Y qui à x associe h(x, t).

Si A et B sont des sous-espaces de X et Y respectivement, une application f de X dans Y est appelée une application de (X, A) dans (Y, B) si elle applique A dans B. Deux applications f et g de (X, A) dans (Y, B) sont dites homotopes s'il existe une homotopie h de f à g, au sens de Hom(X, Y), telle que, pour tout t ∈ I, l'application x ↦ h(x, t) envoie A dans B, c'est-à-dire si f et g peuvent être joints par un chemin dans le sous-espace de Hom (X, Y) formé par les applications de (X, A) dans (Y, B). Si A′ et B′ sont des sous-espaces de A et B respectivement, une application de X dans Y qui applique A dans B et A′ dans B′ est appelée une application de (X, A, A′) dans (Y, B, B′) ; deux telles applications f et g sont dites homotopes s'il existe entre elles une homotopie, au sens de Hom(X, Y), telle que, pour tout t, l'application x ↦ h(x, t) envoie A dans B et A′ dans B′.

Exemples

Deux applications f et g de X dans Rⁿ sont toujours homotopes, car on définit une homotopie h de f à g en posant :

où x ∈ X et t ∈ I.

Au contraire, deux applications f et g de X dans Rⁿ − {O} peuvent ne pas être homotopes. Par exemple, l'application constante f qui envoie S¹ sur le point (2, 0) et l'application naturelle g de S¹ dans R² − {O} ne sont pas homotopes : il existe des déformations de f à g dans R², mais elles rencontrent[...]