TOPOLOGIE Topologie algébrique

La notion de simplexe

On appelle simplexe type de dimension n et on note Δ_n le sous-espace de Rⁿ⁺¹ formé des points dont les coordonnées (x₀, ..., x_n) vérifient les deux relations :

Soit E_p un sous-espace vectoriel de Rⁿ⁺¹ qui est engendré par p + 1 des vecteurs de la base naturelle de Rⁿ⁺¹ ; alors Δ_n ∩ E_p est homéomorphe au simplexe type de dimension p : on dit que c'est une face de dimension p de Δ_n ; les faces de dimension zéro sont appelées des sommets.

Les simplexes affines de R^N

Pour tout ensemble ordonné σ = (s₀, ..., s_n) de points de R^N, qui a n + 1 éléments, on notera [σ] l' enveloppe convexe de σ, c'est-à-dire l'ensemble des points de R^N qui peuvent s'écrire :

Complexes simpliciaux

Considérons un sous-ensemble S₀ discret de R^N et une famille S de parties finies de S₀ ; on suppose que :

α) tout élément σ de S définit un simplexe affine ;

β) toute partie de S₀ ayant un seul élément est dans S ;

γ) toute partie d'un élément de S est dans S ;

δ) pour tout couple (σ, σ′) d'éléments de S, on a :

Notons X la réunion de tous les simplexes [σ] pour σ ∈ S ; c'est un sous-espace fermé de R^N. Les simplexes [σ], avec σ ∈ S, sont tracés sur X et on dit qu'ils forment une triangulation[S]de X.

Un tel espace triangulé X est encore appelé un complexe simplicial. La propriété β, imposée à S, entraîne que S₀⊂ X ; on voit que S₀ est l'ensemble des sommets de[S], que toute face d'un simplexe de[S]est un simplexe de[S]et que, si deux simplexes de[S]ne sont pas disjoints, leur intersection est l'une de leurs faces, éventuellement égale à l'un d'eux.

Par exemple, Δ_n est un complexe simplicial dont les simplexes sont Δ_n lui-même et toutes ses faces ; une ligne brisée est un complexe simplicial n'ayant des simplexes qu'en dimension zéro et un ; en découpant chacune de ses faces en deux triangles, on fait du bord d'un cube un complexe simplicial.

Applications simpliciales

Soit [σ] un simplexe affine de R^N et [τ] un simplexe affine de R^P. Toute application de l'ensemble fini σ dans l'ensemble fini τ se prolonge, de façon unique, en une application de [σ] dans [τ] qui est la restriction à [σ] d'une application affine de R^N dans R^P ; une telle application de [σ] dans [τ] est dite affine. Soit (X,[[...]