TOPOLOGIE Topologie algébrique

La notion de simplexe

On appelle simplexe type de dimension n et on note Δ_n le sous-espace de Rⁿ⁺¹ formé des points dont les coordonnées (x₀, ..., x_n) vérifient les deux relations :

Soit E_p un sous-espace vectoriel de Rⁿ⁺¹ qui est engendré par p + 1 des vecteurs de la base naturelle de Rⁿ⁺¹ ; alors Δ_n ∩ E_p est homéomorphe au simplexe type de dimension p : on dit que c'est une face de dimension p de Δ_n ; les faces de dimension zéro sont appelées des sommets.

Les simplexes affines de R^N

Pour tout ensemble ordonné σ = (s₀, ..., s_n) de points de R^N, qui a n + 1 éléments, on notera [σ] l' enveloppe convexe de σ, c'est-à-dire l'ensemble des points de R^N qui peuvent s'écrire :

Complexes simpliciaux

Considérons un sous-ensemble S₀ discret de R^N et une famille S de parties finies de S₀ ; on suppose que :

α) tout élément σ de S définit un simplexe affine ;

β) toute partie de S₀ ayant un seul élément est dans S ;

γ) toute partie d'un élément de S est dans S ;

δ) pour tout couple (σ, σ′) d'éléments de S, on a :

Notons X la réunion de tous les simplexes [σ] pour σ ∈ S ; c'est un sous-espace fermé de R^N. Les simplexes [σ], avec σ ∈ S, sont tracés sur X et on dit qu'ils forment une triangulation[S]de X.

Un tel espace triangulé X est encore appelé un complexe simplicial. La propriété β, imposée à S, entraîne que S₀⊂ X ; on voit que S₀ est l'ensemble des sommets de[S], que toute face d'un simplexe de[S]est un simplexe de[S]et que, si deux simplexes de[S]ne sont pas disjoints, leur intersection est l'une de leurs faces, éventuellement égale à l'un d'eux.

Par exemple, Δ_n est un complexe simplicial dont les simplexes sont Δ_n lui-même et toutes ses faces ; une ligne brisée est un complexe simplicial n'ayant des simplexes qu'en dimension zéro et un ; en découpant chacune de ses faces en deux triangles, on fait du bord d'un cube un complexe simplicial.

Applications simpliciales

Soit [σ] un simplexe affine de R^N et [τ] un simplexe affine de R^P. Toute application de l'ensemble fini σ dans l'ensemble fini τ se prolonge, de façon unique, en une application de [σ] dans [τ] qui est la restriction à [σ] d'une application affine de R^N dans R^P ; une telle application de [σ] dans [τ] est dite affine. Soit (X,[S]) et (Y,[T]) deux complexes simpliciaux ; une application continue f de X dans Y est dite affine si la restriction de f à [σ], pour tout simplexe [σ] de[S], est une application affine de [σ] dans un simplexe de[T]. Deux applications affines f et g de (X, [S]) dans (Y, [Τ]) sont dites contiguës si, pour tout simplexe [σ] de[S], les ensembles f ([σ]) et g([σ]) sont des faces d'un même simplexe de[T].

On démontre que toute application continue de X dans Y est homotope à une application simpliciale et que, si X est compact, on peut à tout couple (f, g) d'applications simpliciales homotopes de (X, [S]) dans (Y,[T]) associer une suite finie f₀ = f, f₁, ..., f_k = g d'applications simpliciales telles que, pour tout i, les applications f₋₁ et f_i soient contiguës.

Étant donné qu'une application simpliciale est entièrement déterminée par les images des sommets de[S], il est clair que la détermination des classes d'homotopie de X dans Y est ramenée à un problème combinatoire, fini si X est compact.

Polyèdres

Si un sous-espace X de R^N peut être triangulé comme on vient de l'indiquer (cf. Complexes simpliciaux), on dit que c'est un polyèdre plongé dansR^N. Un polyèdre peut être triangulé de plusieurs façons : on dit que la triangulation[T]est une subdivision de la triangulation[S]si l'ensemble des sommets de[T]contient l'ensemble des sommets de[S] ; il en résulte que tout simplexe de[T]est contenu dans un simplexe de[S]. Deux triangulations du même polyèdre plongé dans R^N ont toujours une subdivision commune. Une application continue du polyèdre X dans le polyèdre Y est dite semi-linéaire si elle devient simpliciale pour des choix convenables des triangulations de X et de Y.