TOPOLOGIE Topologie algébrique

Entiers d'incidence

Dans ce chapitre, on fixe, une fois pour toutes, pour tout n ≥ 2, une orientation de Dⁿ et de S^n - 1 (cf. variétés différentiables, chap. 2). Soit [σ] un n-simplexe affine, et soit d[σ] la réunion de ses faces, de dimension au plus égale n − 1 ; le couple ([σ], d[σ]) est homéomorphe à (Dⁿ, S^n - 1) ; orienter [σ] c'est choisir une classe d'homéomorphismes de Dⁿ sur [σ] qui définissent des homéomorphismes de S^n - 1 sur d[σ] ; chaque face [σ′] de dimension n − 1 de [σ] est alors identifiée à un morceau de S^n - 1 et elle est donc orientée. C'est l'orientation induite sur [σ′] par l'orientation de [σ].

Considérons maintenant un complexe simplicial (X,[S]) et orientons chacun de ses simplexes de dimension strictement positive. Pour toute face [σ′] de dimension n − 1 du n-simplexe [σ], avec n ≥ 2, on a donc deux orientations, celle que l'on a choisie et celle qui est induite par l'orientation de [σ]. On définit un nombre entier ε_σ/σ′, appelé entier d'incidence de [σ′] par rapport à [σ], de la façon suivante : on a ε_σ/σ′ = 1 si ces deux orientations coïncident, et ε_σ/σ′ = − 1 si ces deux orientations diffèrent. Si [σ] est un 1-simplexe, son orientation est une classe d'homéomorphismes de D¹ = [− 1, + 1] sur [σ] ; elle identifie l'une des deux faces de dimension zéro, c'est-à-dire l'un des sommets de [σ], à + 1 (pour cette face [σ′], on pose ε_σ/σ′ = 1) et l'autre à − 1 (pour cette face [σ′], on pose ε_σ/σ′ = − 1).

Cycles et homologie

Soit A un anneau unitaire ; on notera C_n(S, A) le A-module libre dont la base est l'ensemble des n-simplexes de la triangulation[S]. Un élément de C_n(S, A) est appelé une n-chaîne du complexe simplicial (X,[S]) ; c'est une expression formelle Σα_σσ, où [σ] parcourt l'ensemble des n-simplexes de[S]et où tous les α_σ, à l'exception d'un nombre fini, sont nuls. À tout n-simplexe [σ] on associe une (n − 1)-chaîne d_nσ, appelée son bord, définie par :

On démontre que, pour tout simplexe [σ] et pour tout couple ([σ′], [σ″]) de faces de codimension 1 de [σ] qui se coupent suivant [σ], on a :

Les n-chaînes u telles que d_nu = 0 sont appelées les cycles de dimension n du complexe simplicial (X,[S]). Deux cycles de dimension n sont dits homologues si leur différence est le bord d'une (n + 1)-chaîne. Il est clair que les cycles de dimension n forment un sous-A-module de C_n(S, A) et que l'ensemble de leurs classes modulo l'homologie en est un module quotient ; on le note H_n(S, A). En employant les définitions algébriques du chapitre 6, on peut dire qu'en posant C_n(S, A) = 0, pour n < 0, on obtient un A-module différentiel gradué C_*(S, A) dont le n-ième groupe d'homologie est H_n(S, A).

À toute application simpliciale f de (X, [S]) dans (Y, [T]) on associe un homomorphisme f_n de C_n(S, A) dans C_n(T, A) en posant, pour tout n-simplexe [σ] de[S], ou bien :

On démontre que, si f et g sont contiguës, alors f_* et g_* coïncident. Il en résulte que :

a) si ϕ est une application continue de X[...]