TOPOLOGIE Topologie algébrique

Les espaces fibrés

Fibrés localement triviaux

Soit ϕ : Y → B une application et soit F un espace topologique. Supposons que, pour tout point b de B, l'ensemble ϕ⁻¹(b) soit homéomorphe à F ; on dit alors que ϕ : Y → B est un fibré de fibre F et de base B. L'ensemble ϕ⁻¹(b) est appelé la fibre du point b.

Un exemple de cette situation est le cas où Y = F × B et où ϕ est la seconde projection du produit Y × B ; ce fibré est appelé le fibré trivial de fibre F et de base B.

Pour tout sous-espace B′ de B et pour tout fibré ϕ : Y → B de fibre F,

est encore un fibré de fibre F. On dit que ϕ : Y → B est un fibré localement trivial si chaque point b de B possède un voisinage U tel que :

soit isomorphe au fibré trivial (c'est-à-dire tel qu'il puisse exister un homéomorphisme η : ϕ⁻¹(U) → F × U tel que, pour tout point y de ϕ⁻¹(U), le point ϕ(y) soit la seconde projection de η(y)).

Citons deux exemples de fibrés localement triviaux.

1. Soit B une variété différentiable de dimension n et soit Y la variété de ses vecteurs tangents. En associant à tout vecteur tangent son point de contact, on peut définir un fibré ϕ : Y → B qui a pour fibre Rⁿ ; il est localement trivial, car, pour tout ouvert de coordonnées U de B,

est isomorphe au fibré trivial.

2. Soit G un groupe topologique et soit G′ un sous-groupe fermé. Notons ϕ l'application naturelle de G sur l'ensemble des classes à droite G/G′ ; c'est une fibration de fibre G′. Si G est un groupe de Lie et G′ un sous-groupe de Lie, ce fibré est localement trivial. Les groupes classiques (cf. groupes -Groupes classiques et géométrie) donnent de multiples exemples de cette construction ; par exemple, si on a G = SO(3) et G′ = SO(2), qui sont les groupes des rotations dans R³ et dans R² respectivement, G/G′ est la sphère S² et ϕ : G → G/G′ est l'application qui à g ∈ SO(3) associe l'image par g du vecteur (1, 0, 0) de R³.

Considérons maintenant un fibré localement trivial ϕ : Y → B de fibre F, deux ouverts B₀ et B₁ et soit deux trivialisations :

L'application η₀ ∘ η₁⁻¹ de F × (B₀∩ B₁) dans lui-même commute avec la projection sur B₀∩ B₁ ; elle définit une application de B₀ ∩ B₁ dans le groupe des homéomorphismes de F et cette application est continue si on munit ce groupe d'une topologie appropriée. En général, on se donne un sous-groupe H de ce groupe d'homéomorphismes et des trivialisations η_i telles que les homéomorphismes de F donnés par les applications η_i ∘ η_j⁻¹ soient dans H ; on dit alors que H est le groupe structural du fibré. Par exemple, le groupe structural du fibré des vecteurs tangents à une variété de dimension n est le groupe GL(n) des matrices réelles d'ordre n inversibles, puisque les applications η_i ∘ η_j⁻¹ sont données par les différentielles des changements de cartes de la variété. Si la variété est orientable, ces différentielles ont toutes un déterminant positif ; donc le groupe structural est le sous-groupe GL₊(n) de GL(n) formé des matrices à déterminant positif.

Dans le cas où la fibre est un groupe, il se peut que le groupe structural soit la fibre elle-même, opérant par translation à droite ; on dit alors qu'on a un fibré principal. C'est le cas du fibré ϕ : G → G/G′ ; c'est aussi le cas du revêtement universel de (X, x), le groupe structural étant alors le groupe discret π₁(X, x).