TOPOLOGIE Topologie algébrique

Fibrés localement triviaux

Soit ϕ : Y → B une application et soit F un espace topologique. Supposons que, pour tout point b de B, l'ensemble ϕ⁻¹(b) soit homéomorphe à F ; on dit alors que ϕ : Y → B est un fibré de fibre F et de base B. L'ensemble ϕ⁻¹(b) est appelé la fibre du point b.

Un exemple de cette situation est le cas où Y = F × B et où ϕ est la seconde projection du produit Y × B ; ce fibré est appelé le fibré trivial de fibre F et de base B.

Pour tout sous-espace B′ de B et pour tout fibré ϕ : Y → B de fibre F,

Citons deux exemples de fibrés localement triviaux.

1. Soit B une variété différentiable de dimension n et soit Y la variété de ses vecteurs tangents. En associant à tout vecteur tangent son point de contact, on peut définir un fibré ϕ : Y → B qui a pour fibre Rⁿ ; il est localement trivial, car, pour tout ouvert de coordonnées U de B,

2. Soit G un groupe topologique et soit G′ un sous-groupe fermé. Notons ϕ l'application naturelle de G sur l'ensemble des classes à droite G/G′ ; c'est une fibration de fibre G′. Si G est un groupe de Lie et G′ un sous-groupe de Lie, ce fibré est localement trivial. Les groupes classiques (cf. groupes -Groupes classiques et géométrie) donnent de multiples exemples de cette construction ; par exemple, si on a G = SO(3) et G′ = SO(2), qui sont les groupes des rotations dans R³ et dans R² respectivement, G/G′ est la sphère S² et ϕ : G → G/G′ est l'application qui à g ∈ SO(3) associe l'image par g du vecteur (1, 0, 0) de R³.

Considérons maintenant un fibré localement trivial ϕ : Y → B de fibre F, deux ouverts B₀ et B₁ et soit deux trivialisations :

L'application η₀ ∘ η₁⁻¹ de F × (B₀∩ B₁) dans lui-même commute avec la projection sur B₀∩ B₁ ; elle définit une application de B₀ ∩ B₁ dans le groupe des homéomorphismes de F et cette application est continue si on munit ce groupe d'une topologie appropriée. En général, on se donne un sous-groupe H de ce groupe d'homéomorphismes et des trivialisations η_i telles que les homéomorphismes de F donnés par les applications η_i ∘ η_j⁻¹ soient dans H ; on dit alors que H est le groupe structural du fibré. Par exemple, le groupe structural du fibré des vecteurs tangents à une variété de dimension n est le groupe GL(n) des matrices réelles d'ordre n inversibles, puisque les applications η_i ∘ η_j⁻¹ sont données par les différentielles des changements de cartes de la variété. Si la variété est orientable, ces différentielles ont toutes un déterminant positif ; donc le groupe structural est le sous-groupe GL₊(n) de GL(n) formé des matrices à déterminant positif.

Dans le cas où la fibre est un groupe, il se peut que le groupe structural soit la fibre elle-même, opérant par translation à droite ; on dit alors qu'on a un fibré principal. C'est le cas du fibré ϕ : G → G/G′ ; c'est aussi le cas du revêtement universel de (X, x), le groupe structural étant alors le groupe discret π₁(X, x).

La suite exacte d'homotopie d'un fibré

Choisissons un point y dans Y et posons ϕ(y) = b ; l'application :

Homologie d'un espace fibré

Quand on connaît l' homologie de la base et l'homologie de la fibre d'un fibré localement trivial ϕ : Y → B, on a d'assez bons renseignements sur l'homologie de Y, puisque, si B est simplement connexe, il existe une suite spectrale (cf. Suites spectrales, in chap. 6), dont le terme E² est l'homologie de B à coefficients dans l'homologie de F, qui converge vers l'homologie de Y.

Pour tout espace A où l'on a choisi un point a, on note SA l'espace obtenu à partir de A × I en contractant :

Classification

Soit ϕ : Y → B un fibré de fibre F ; pour toute application α : C → B, notons Z_α le sous-espace de C × Y formé des points (c, y) tels que α(c) = ϕ(y) ; l'application ψ de Z_α dans C définie par ψ(c, y) = c est une fibration de fibre F. Si la fibration ϕ : Y → B est localement triviale, alors ψ : Z_α → C l'est aussi ; si la fibration ϕ : Y → B est munie d'un groupe structural G, il en est de même de ψ : Z_α → C. On dit que ψ : Z_α → C est l'image inverse de ϕ : Y → B par l'application α. On démontre que, si les applications α et β de C dans B sont homotopes et si C est assez simple, par exemple si c'est un polyèdre, les fibrés images réciproques par α et β sont isomorphes.

Pour tout fibré ϕ : Y → B de fibre F muni du groupe structural G, la construction précédente définit donc une application de l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de C dans B dans l'ensemble des classes à isomorphisme près de fibrés de base C, de fibre F et de groupe structural G. Dans la plupart des cas (en particulier si g est un groupe de Lie, donc dans le cas des fibrés vectoriels de fibre Rⁿ ou Cⁿ et de groupe GL(n, R) ou GL(n, C)), il existe un fibré ϕ : Y → B tel que, pour tout polyèdre C, cette application soit une bijection. Ce fibré ϕ : Y → B est appelé le fibré universel, ou fibré classifiant, de fibre F et de groupe structural G. On démontre que, dans le cas des fibrés principaux, tous les groupes d'homotopie de Y sont nuls.