TOPOLOGIE Topologie algébrique

Fibrés vectoriels stables

Soit E et F deux fibrés vectoriels réels de base X, c'est-à-dire deux fibrés localement triviaux dont la fibre est un espace vectoriel sur R (sa dimension est appelée la dimension du fibré) et dont le groupe structural est le groupe des isomorphismes linéaires de cette fibre. On définit un fibré vectoriel réel E ⊕ F, appelé somme de E et de F, dont la fibre en un point x est la somme directe des fibres en x de E et de F ; ce fibré a donc pour dimension la somme des dimensions de E et de F. Si E est le fibré trivial X × R^p → X, la somme de E et de F → X est le fibré R^p × F → X.

On dit que deux fibrés F₀ et F₁ de base X sont stablement équivalents s'il existe des fibrés triviaux E₀ et E₁ de base X tels que E₀⊕ F₀ et E₁ ⊕ F₁ soient isomorphes. Cette notion de classe stable d'un fibré a été introduite en topologie différentielle pour l'étude des fibrés normaux aux variétés ; elle a ensuite pris une grande importance dans le développement de la topologie algébrique moderne.

On note KO(X) l'ensemble des classes stables de fibrés vectoriels réels de base X. La somme des fibrés induit une loi de composition sur KO(X) ; si X est compact (ou si X est un polyèdre), c'est une loi de groupe abélien. On définit de même le groupe K(X) des classes stables de fibrés vectoriels complexes de base X.

Foncteurs homologiques généralisés

Un théorème de R. Bott affirme que K(X) est isomorphe à K(S²X), en désignant par S²X la seconde suspension de X ; de même KO(X) est isomorphe à KO(S⁸X). Cela permet de définir une famille de foncteurs Kⁱ(X) et KOⁱ(X) très analogues aux groupes de cohomologie (cf. infra, Cohomologie) ; ce sont les premiers exemples connus des « théories cohomologiques (ou homologiques) généralisées », qui constituent l'un des principaux domaines de la topologie algébrique. Une étude systématique de ces théories homologiques a été entreprise avec la S-théorie et les suites spectrales d'Adams.

Parmi les recherches, on doit signaler aussi l'étude des foncteurs représentables et des structures algébriques dans la catégorie des espaces topologiques et des classes d'homotopie d'applications.