TOPOLOGIE Topologie algébrique

Algèbre homologique

Homologie d'un module différentiel

Considérons une famille (M_n), avec n ∈ Z, de A modules et, pour tout n, une application d_n de M_n dans M_n_+ε, où ε est un entier en général égal à + 1 ou à − 1. Si, pour tout n, on a :

on dit que M = ((M_n), (d_n)), pour n ∈ Z, est un A-module différentiel gradué ; les d_n sont appelés les opérateursbord de M. Toute suite exacte infinie :

de A-modules est un A-module différentiel gradué ; mais, en général, un A-module différentiel gradué n'est pas une suite exacte ; on introduit son homologie pour mesurer en quoi ce n'en est pas une. On appelle cycle de dimension n les éléments du noyau Z_n de d_n ; on appelle bords de dimension n les éléments de l'image B_n de d_n−_ε. Pour tout n, le module B_n est un sous-module de Z_n ; le module quotient de Z_n par B_n est appelé le module d'homologie en dimension n de M. On le notera H_n (M ).

Soit M =((M_n), (d_n)) et L =((L_n), (δ_n)) deux A-modules différentiels gradués ; si, pour tout n, on s'est donné un homomorphisme α_n : M_n → L_n, de telle façon que l'on ait :

on dit que α = (α_n), pour n ∈ Z, est un morphisme de M dans L. L'image par α_n d'un cycle (resp. d'un bord) de dimension n de M est un cycle (resp. un bord) de dimension n de L ; donc α induit, pour tout n, un homomorphisme H_n(α) de H_n(M ) dans H_n(L ). Cela permet de dire que l'homologie est un foncteur de la catégorie des modules différentiels gradués dans celle des modules gradués.

Supposons maintenant que α_n soit injectif quel que soit n ; on définit un A-module différentiel gradué L /M de la façon suivante : pour tout n, on considère le A-module L_n/M_n et on applique l'homomorphisme :

en associant à la classe de λ_n ∈ L_n celle de δ_n(λ_n) ∈ L_n_+ε. L'homologie de L /M s'appelle l'homologie relative de L modulo M ; on la note (H_n(L , M )), avec n ∈ Z. L'application naturelle L_n → L_n/M_n définit un morphisme de modules différentiels qui, pour tout n, induit un homomorphisme :

Pour tout cycle de dimension n de L /M, il existe un élément y de L_n dont la classe est x. L'élément δ_n(y) est l'image d'un élément z de M_n_+ε et cet élément z est un cycle de M de dimension n + ε. En associant à celle de x la classe d'homologie de z, on définit un homomorphisme :

on démontre que, quel que soit n, la suite :

est exacte.

Toutes ces constructions ont des propriétés fonctorielles évidentes que l'on ne peut détailler ici.

Suites spectrales

Supposons que le module différentiel gradué M soit la réunion d'une famille croissante (M ^p), avec p ∈ Z, de modules différentiels gradués ; on dit alors que M est un module différentiel gradué filtré. Il arrive très souvent que l'on connaisse l'homologie des M ^p/M ^p⁻¹ et que l'on cherche à calculer celle de M. La suite spectrale de M est une famille de modules différentiels gradués :

pour i ≥ 1, telle que, pour tout i ≥ 2, les modules Eⁱ_n soient l'homologie de Eⁱ⁻¹ et que l'homologie de M soit, en un certain sens, la limite des Eⁱ. Les modules E²_n sont assez bien connus si l'on peut calculer l'homologie des M ^p/M ^p⁻¹ ; malheureusement, on ne connaît en général pas l'opérateur bord (d²_n ) et on ne connaît donc pas non plus les Eⁱ pour i ≥ 3. Cependant, dans certains cas particuliers, on peut mener les calculs jusqu'au bout. La suite spectrale est l'un des plus féconds des outils de l'algèbre homologique.

Foncteurs dérivés

Soit A un anneau commutatif ; pour tout couple (Λ, M) de A-modules, l'ensemble Hom_A (Λ, M) des homomorphismes de Λ dans M est muni, de manière naturelle, d'une structure de A-module. On associe à tout homomorphisme ϕ : M → N un homomorphisme : [...]

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