TOPOLOGIE Topologie algébrique

La notion de faisceau

Considérons une application continue p : Y → X et, pour tout ouvert U de X, notons F _U l'ensemble des sections de p au-dessus de U, c'est-à-dire l'ensemble des applications continues s : U → Y telles que p ∘ s soit l'application identique de U. Pour U′ ⊂ U, à tout élément s de F _U on associe sa restriction s_|U′ à U′ ; ce qui définit une application de F _U dans F U′. Il est clair que les deux propriétés suivantes sont vérifiées.

a) Si U″ ⊂ U′ ⊂ U et si s est un élément de F _U, on a :

b) Si U est la réunion des ouverts U_i, si, pour tout i, s_i est un élément de F _Ui et si, pour tout couple (i, f ), on a :

On dit alors que les F _U et les applications de restriction forment le faisceau des sections de p. Plus généralement, chaque fois que l'on se sera donné, pour tout ouvert U de X, un ensemble G _U et, pour tout U′ contenu dans U, une application de G _U dans G U′, que l'on appellera restriction, de façon que les propriétés a et b soit vérifiées, on dira que l'on a un faisceau G de base X.

Exemples

1. Soit p la seconde projection du produit A × X ; le faisceau des sections de p est encore appelé le faisceau des fonctions continues à valeurs dans A.

2. Soit X une variété différentiable et soit p la projection de l'espace tangent à X ; une section, au-dessus de U, du faisceau F associé à p est un champ de vecteurs défini sur U.

3. Les deux exemples précédents sont donnés comme des faisceaux de sections d'une application p à valeurs dans X ; il n'en est pas toujours ainsi. Associons, par exemple, à chaque ouvert U de la variété X l'ensemble Ω^k_U des formes différentielles de degré k définies sur U. On obtient le faisceau Ω^k des formes différentielles de degré k sur la variété X.

En général, comme dans les exemples 2 et 3, les F _U sont munis d'une structure algébrique (groupe, anneau, A-module, etc.) et les restrictions sont des homomorphismes de cette structure ; on dit alors que l'on a un faisceau de groupes, d'anneaux, de A-modules, etc.

Si F et G sont deux faisceaux de base X, un morphisme α de F dans G est la donnée, pour tout ouvert U de X, d'une application α_U de F _U dans G _U, de telle façon que, chaque fois que U′ est contenu dans U et que f est un élément de F _U, on a :

Par exemple, si à toute forme différentielle ω de degré k sur l'ouvert U de la variété X on associe sa différentielle, on obtient un morphisme du faisceau Ω^k dans le faisceau Ω^k+1. Si F et G sont des faisceaux de groupes (resp. d'anneaux, de A-modules, etc.), on impose aux α_U d'être des homomorphismes de groupes (resp. d'anneaux, de A-modules, etc.) et on dit que α est un morphisme de faisceaux de groupes (resp. d'anneaux, de A-modules, etc.).

Exactitude

Soit F α→ G β→ H une suite d'homomorphismes de faisceaux de groupes (ou d'anneaux, ou de A-modules) de base X ; on dit que cette suite est exacte si :

a) Pour tout ouvert U de X, on a :

b) Pour tout élément g de G _U tel que β_U(g) = 0 et tout point x de U, il existe un voisinage U′ de x dans U et un élément f de U′ tel que :

Par exemple, pour toute variété X, la suite :