TOPOLOGIE Topologie générale

Limites

Exemples

Dans l'analyse classique, le mot limite peut désigner des choses apparemment très diverses dont on va citer quelques exemples.

1. Limite d'une suite numérique. Soit (x_n) une suite de nombres ; on dit qu'elle converge et que sa limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, on ait l'inégalité |y − x_n| ≤ ε.

2. Limite uniforme d'une suite de fonctions. Soit (f_n) une suite de fonctions numériques définies sur un ensemble X ; on dit qu'elle converge uniformément et que sa limite est g si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N et pour tout élément z de X, on ait l'inégalité |g(z) − f_n(z)| ≤ ε.

3. Limite en + ∞ d'une fonction numérique définie sur l'intervalle [a, + ∞[. Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle[a, + ∞[ ; on dit qu'elle a une limite en + ∞ et que cette limite est le nombre y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre N tel que l'inégalité x ≥ sup (a, N) entraîne l'inégalité |y − f (x)| ≤ ε.

4. Limite à droite en a d'une fonction numérique définie sur ]a, b[. Soit f une fonction numérique définie sur ]a, b[ ; on dit que f a une limite à droite en a et que cette limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre strictement positif α tel que, pour tout point x qui vérifie a < x ≤ a + α, on ait |y − f (x)| ≤ ε.

Filtres

Il existe une certaine parenté entre ces définitions ; pour dégager ce qu'elles ont de commun, H. Cartan a introduit la notion de filtre. Un filtre sur l'ensemble A est, par définition, un ensemble F de parties de A, qui vérifie les trois conditions suivantes :

a) Tout élément de F est non vide ;

b) L'intersection d'un nombre fini d'éléments de F est un élément de F ;

c) Toute partie de A qui contient un élément de F est elle-même un élément de F.

Si f est une application de A dans un espace topologique X, on dit que le point y de X est limite de f suivant le filtre F si, pour tout voisinage V de y dans X, il existe un élément F de F tel que f (a) soit dans V chaque fois que a appartient à F.

Montrons que l'on a obtenu le résultat cherché, c'est-à-dire que les quatre notions de limites définies plus haut sont des cas particuliers de limite suivant un filtre.

Sur l'ensemble N des entiers naturels, les complémentaires des parties finies forment un filtre F_N (que l'on appelle souvent filtre de Fréchet). Dire que la suite numérique (x_n) converge et a pour limite y (exemple 1), c'est dire que y est limite de la fonction de N dans R qui à n associe x_n, suivant le filtre F_N.

Dire que la suite de fonctions numériques (f_n) converge uniformément et qu'elle a pour limite g (exemple 2), c'est dire que, si l'on note E l'ensemble des fonctions de X dans R et si l'on munit E de la distance de la convergence uniforme, g est limite suivant le filtre F_N de l'application de N dans E qui à n associe f_n.

Dire que y est la limite de f en + ∞ (exemple 3), c'est dire que y est la limite de f suivant le filtre F+∞ formé des complémentaires des parties majorées de[a, + ∞[.

Dire que y est la limite à droite en a de la fonction numérique f définie sur ]a, b[ (exemple 4), c'est dire que y est la limite de f suivant le filtre F_a₊ formé des intersections de ]a, b[ et des voisinages de a dans R.

On démontre que, si f et g sont des applications de A dans R qui ont des limites y et z suivant le filtre F, alors y + z (resp. yz) est limite de f + g (resp. limite de fg) suivant le filtre F.