TOPOLOGIE Topologie générale

Exemples

Dans l'analyse classique, le mot limite peut désigner des choses apparemment très diverses dont on va citer quelques exemples.

1. Limite d'une suite numérique. Soit (x_n) une suite de nombres ; on dit qu'elle converge et que sa limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, on ait l'inégalité |y − x_n| ≤ ε.

2. Limite uniforme d'une suite de fonctions. Soit (f_n) une suite de fonctions numériques définies sur un ensemble X ; on dit qu'elle converge uniformément et que sa limite est g si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N et pour tout élément z de X, on ait l'inégalité |g(z) − f_n(z)| ≤ ε.

3. Limite en + ∞ d'une fonction numérique définie sur l'intervalle [a, + ∞[. Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle[a, + ∞[ ; on dit qu'elle a une limite en + ∞ et que cette limite est le nombre y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre N tel que l'inégalité x ≥ sup (a, N) entraîne l'inégalité |y − f (x)| ≤ ε.

4. Limite à droite en a d'une fonction numérique définie sur ]a, b[. Soit f une fonction numérique définie sur ]a, b[ ; on dit que f a une limite à droite en a et que cette limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre strictement positif α tel que, pour tout point x qui vérifie a < x ≤ a + α, on ait |y − f (x)| ≤ ε.

Filtres

Il existe une certaine parenté entre ces définitions ; pour dégager ce qu'elles ont de commun, H. Cartan a introduit la notion de filtre. Un filtre sur l'ensemble A est, par définition, un ensemble F de parties de A, qui vérifie les trois conditions suivantes :

a) Tout élément de F est non vide ;

b) L'intersection d'un nombre fini d'éléments de F est un élément de F ;

c) Toute partie de A qui contient un élément de F est elle-même un élément de F.

Si f est une application de A dans un espace topologique X, on dit que le point y de X est limite de f suivant le filtre F si, pour tout voisinage V de y dans X, il existe un élément F de F tel que f (a) soit dans V chaque fois que a appartient à F.

Montrons que l'on a obtenu le résultat cherché, c'est-à-dire que les quatre notions de limites définies plus haut sont des cas particuliers de limite suivant un filtre.

Sur l'ensemble N des entiers naturels, les complémentaires des parties finies forment un filtre F_N (que l'on appelle souvent filtre de Fréchet). Dire que la suite numérique (x_n) converge et a pour limite y (exemple 1), c'est dire que y est limite de la fonction de N dans R qui à n associe x_n, suivant le filtre F_N.

Dire que la suite de fonctions numériques (f_n) converge uniformément et qu'elle a pour limite g (exemple 2), c'est dire que, si l'on note E l'ensemble des fonctions de X dans R et si l'on munit E de la distance de la convergence uniforme, g est limite suivant le filtre F_N de l'application de N dans E qui à n associe f_n.

Dire que y est la limite de f en + ∞ (exemple 3), c'est dire que y est la limite de f suivant le filtre F+∞ formé des complémentaires des parties majorées de[a, + ∞[.

Dire que y est la limite à droite en a de la fonction numérique f définie sur ]a, b[ (exemple 4), c'est dire que y est la limite de f suivant le filtre F_a+ formé des intersections de ]a, b[ et des voisinages de a dans R.

On démontre que, si f et g sont des applications de A dans R qui ont des limites y et z suivant le filtre F, alors y + z (resp. yz) est limite de f + g (resp. limite de fg) suivant le filtre F.

Notons encore que, si A est un espace topologique, les voisinages d'un point a forment un filtre sur A ; dire que l'application f de A dans l'espace topologique X est continue en a, c'est dire que f a pour limite f (a) suivant ce filtre.

Séparation

Une suite numérique ne peut avoir deux limites ; de même, une fonction numérique ne peut avoir deux limites en + ∞ (ou en a). Mais, si l'ensemble A est muni du filtre F et si f est une application de A dans un espace topologique X, deux points distincts de X peuvent être limites de f suivant le filtre F ; par exemple, si X est muni de la topologie grossière, tout point de X est limite de f suivant le filtre F. Pour avoir l'unicité des limites pour les applications à valeurs dans X, on doit supposer que X vérifie la condition suivante : Deux points distincts de X possèdent des voisinages disjoints. On dit alors que X est séparé. Tous les espaces métriques sont séparés, à cause de la relation d(x, y) = 0 ⇒ x = y ; c'est le fait que R est séparé qui permet de faire les raisonnements classiques dits « par passage à la limite » ou « par continuité ».