COURBES TRANSFORMATIONS DE

Transformation par développée et développante

La développée [notion introduite par Christiaan Huygens (1629-1695) en 1673] d'une courbe est l'enveloppe de ses normales. Le point caractéristique sur chaque normale est le point d'intersection avec une normale infiniment voisine, point qui est par définition le centre de courbure: la développée est donc aussi le lieu des centres de courbure (fig. 15 et tabl. 2

L'abscisse curviligne de la développée est le rayon de courbure de la courbe de départ; ceci se traduit cinématiquement par le fait que la normale roule sans glisser sur la développée.

Si donc on appelle développantes d'une courbe les courbes dont elle est la développée, les développantes sont aussi les lieux des points d'une droite roulant sans glisser sur la courbe. Cela peut se matérialiser par un fil enroulé sur la courbe que l'on déroule en le laissant tendu.

Gaspard Monge (1746-1818) a étendu ces notions à l'espace en 1785. Il a dénommé «surface polaire» l'enveloppe des plans normaux à une courbe gauche. Deux plans normaux infiniment voisins se coupant suivant l'axe de symétrie du cercle de courbure, la surface polaire est aussi la réunion des axes des cercles de courbures de la courbe, soit la réunion des droites passant par le centre de courbure et orthogonales au plan osculateur. C'est une surface développable qui est un cylindre si et seulement si la courbe de départ est plane (la surface polaire est alors le cylindre orthogonal au plan de la courbe construit sur sa développée) et qui est un cône si et seulement si la courbe de départ est sphérique. Dans les autres cas, l'arête de rebroussement de la surface polaire (courbe enveloppe des droites engendrant la surface) est le lieu des centres des sphères osculatrices à la courbe.

Il ne faut en revanche pas dénommer «développée» d'une courbe gauche le lieu de ses centres de courbure, car les normales principales ne seraient pas tangentes à cette courbe. La bonne notion de développée est celle d'enveloppe d'une famille de normales à la courbe; les développées sont donc tracées sur la surface polaire, et c'en sont des géodésiques (courbes qui se développent en des droites). On obtient une développée en menant d'un point de la courbe un fil tangent à la surface polaire et en l'enroulant ensuite librement sur cette polaire.

Lorsqu'un plan normal décrit la courbe de départ, il pivote sans glisser sur la surface polaire; les développantes d'une surface développable, courbes dont la surface est la polaire, s'obtiennent donc comme lieux des points d'un plan pivotant sans glisser sur la surface.

De même, les développantes d'une courbe gauche, courbes dont la courbe est une développée, sont les lieux des points d'une droite roulant sans glisser sur la courbe.

Transformation par parallèles

Deux courbes sont dites parallèles si toute normale à l'une est une normale à l'autre; on montre qu'alors la distance entre deux points à normale commune est une constante, appelée distance de parallélisme. Comme pour les droites, la relation de parallélisme des courbes planes est une relation d'équivalence; une classe d'équivalence est l'ensemble[...]