TRESSES, mathématiques

Tresses géométriques

Une tresse, ce sont des brins qui se croisent, avec la seule contrainte que les brins ne rebroussent pas chemin et conservent une même direction générale, par exemple de haut en bas, ou de gauche à droite (fig. 1).

On peut modéliser une tresse à n brins comme la réunion de n courbes de ℝ³ reliant les points (1, 0, 0), ..., (n, 0, 0) aux points (1, 0, 1), ..., (n, 0, 1) et coupant en n points chaque plan z = a pour 0 ≤ a ≤ 1 (fig. 2). Une telle figure sera appelée tresse géométrique à n brins.

À partir de deux tresses géométriques à n brins β₁ et β₂, on en obtient une nouvelle en plaçant β₁ au-dessus de β₂ et en comprimant la figure pour qu'elle tienne entre les plans z = 0 et z = 1. Le résultat, noté β₁β₂, est appelé produit de β₁ et β₂ (fig. 3).

Isotopie

Si, dans une tresse matérielle souple, on bouge les brins en laissant les extrémités fixes, l'objet change, mais pas sa structure topologique, par exemple le fait que deux brins soient enroulés ou non. Ceci mène à une relation d'équivalence sur les tresses géométriques: on dit que β et β' sont isotopes si on peut déformer β en β' (fig. 4). On appelle alors tresse à n brins une classe d'équivalence de tresses géométriques à n brins vis-à-vis de l'isotopie.

Le produit des tresses géométriques est compatible avec l'isotopie, et il induit donc un produit sur les classes d'équivalence. Celui-ci est associatif (fig. 5). Ensuite, la classe d'équivalence de la tresse géométrique ε_n composée de n segments verticaux est élément neutre, car β, βε_n et ε_nβ sont isotopes. Enfin, si β¯ est l'image de β par réflexion dans le plan z = 1/2 (fig. 6), alors les tresses ββ¯ et β¯β sont isotopes à ε_n. Donc l'ensemble des tresses à n brins muni du produit défini ci-dessus est un groupe: le groupe des tresses à n brins, traditionnellement noté B_n, le mot anglais pour tresse étant braid.

Diagrammes de tresse

Appelons diagramme de tresse à n brins une figure plane obtenue en empilant des motifs pris dans la liste de la figure 7. Un tel diagramme est codé naturellement par une suite finie de lettres parmiσ₁^±1, …,  σ_n–1^±1, suite qu'on appelle un mot de tresse (fig. 8).

En projetant une tresse géométrique sur le plan y = 0, on obtient une figure ressemblant à un diagramme de tresse, à ceci près que les projections des brins ne sont en général pas rectilignes. Appelons régulière une tresse géométrique dont la projection est un diagramme de tresse (lorsqu'on interrompt les brins postérieurs aux intersections). Alors toute tresse géométrique est isotope à une tresse géométrique régulière, et deux tresses géométriques régulières[...]