TRESSES, mathématiques

Groupe de difféotopies d'un disque troué

Soit D_n un disque du plan privé de n points. Les homéomorphismes de D_n dans lui-même préservant l'orientation, laissant fixe le bord extérieur ∂D_n et préservant globalement les n trous forment un groupe, dont le quotient par isotopie est appelé le groupe de difféotopies (ou, souvent, le mapping class group) de D_n (fig. 13).

Ce groupe est isomorphe au groupe des tresses B_n: l'idée de la démonstration est de regarder les tresses du dessus et non plus du devant, et de considérer une tresse à n brins comme le mouvement de n points du disque. De façon plus précise, si f est un homéomorphisme de D_n laissant ∂D_n fixe, il existe une déformation continue joignant f à l'application identité, et on obtient une tresse géométrique en suivant les images des n trous de D_n le long de la déformation; à l'inverse, une tresse géométrique spécifie un mouvement des n trous de D_n, et celui-ci se prolonge de façon unique à isotopie près en un homéomorphisme de D_n laissant le bord fixe (fig. 14).

Groupe fondamental d'un espace de configuration

Une autre façon de faire apparaître le groupe B_n est de considérer les espaces C’_n et C_n formés par les configurations ordonnées et non ordonnées de n points dans le plan, c'est-à-dire, respectivement, les suites (ordonnées) et les ensembles (non ordonnés) de n points distincts. En identifiant le plan avec l'ensemble ℂ des nombres complexes, on voit C’_n comme l'ensemble des n-uplets (z₁, …, z_n) de ℂⁿ vérifiant z_i ≠ z_j pour i ≠ j, donc le complémentaire des hyperplans diagonaux, et C_n comme le quotient de C’_n relativement à l'action du groupe symétrique S_n par permutation des coordonnées.

Les espaces C_n et C’_n héritent de ℂⁿ une topologie naturelle et, comme à chaque espace topologique, on leur associe un groupe dit fondamental formé par les classes d'homotopie de courbes fermées tracées à partir d'un point-base fixé. Le résultat est alors que le groupe fondamental de l'espace C_n est le groupe de tresses B_n, et celui de C’_n est le groupe de tresses pures P_n.

Le passage de cette construction de B_n à la précédente est assez simple, car, pourvu qu'on se restreigne à des n-uplets (z₁, …, z_n) vérifiant

, un lacet à travers l'espace C_n correspond naturellement au mouvement de n points d'un disque.

Groupe d'automorphismes d'un groupe libre

Considérons l'ensemble des mots formés à partir de 2n lettres x₁, …, x_n, x₁^–1, …,  x_n^–1 et ne contenant aucun sous-mot x_ix_i^–1 ou x_i^–1x_i. Lorsqu'on munit cet ensemble du produit qui associe à deux mots u et v le mot obtenu en écrivant v à la suite de u et en supprimant les éventuels sous-mots x_ix_i^–1 ou x_i^–1x_i, on obtient un groupe, noté F_n, et appelé groupe libre de rang n. Ce groupe est le plus gros des groupes à n générateurs, au sens où tout groupe à n générateurs en est une image homomorphe ou, si on préfère, un quotient.

Le groupe Aut(F_n) formé par tous les automorphismes de F_n est très gros, et il est usuel d'en étudier des sous-groupes. Un exemple typique est le sous-groupe de Aut(F_n) formé par les automorphismes φ préservant le produit x₁…x_n et envoyant chaque générateur x_i sur un conjugué de x_f(i), où f est une permutation des indices 1, …, n (dépendant de φ). On montre que ce sous-groupe est précisément le groupe de tresses B_n, obtenant ainsi une représentation injective de B_n dans Aut(F_n).

Pour le voir, on note que le groupe fondamental du disque troué D_n est isomorphe à F_n, le générateur[...]