TRESSES, mathématiques

Représentation de Burau

Découverte en 1936, cette représentation envoie le groupe B_n dans le groupe des matrices inversibles de taille n dont les coefficients sont des polynômes sur ℤ en une variable t et son inverse. L'image de σ_i est la matrice

, où I_k désigne la matrice-unité de taille k (fig. 24). La représentation de Burau mène au polynôme d'Alexander des nœuds; elle est fidèle (c'est-à-dire injective) pour n = 3, et non fidèle pour n ∗ 5 (résultat de Stephen Bigelow, améliorant un résultat antérieur de John Moody). Le cas n = 4 est ouvert.

Algèbres de Hecke

L'algèbre de Hecke H_n(q) est la ℂ[q, q^-1]-algèbre associative engendrée par des générateurs e₁, …, e_n-1 soumis aux relations de tresse complétées par e_i² = (q – 1)e_i + q. Elle est de dimension n!, et on représente B_n dans H_n(q) en envoyant σ_i sur e_i.

C'est en construisant une représentation de B_n par l'intermédiaire de H_n(q) et en montrant son invariance par les transformations de Markov que Vaughan Jones a construit en 1984 le polynôme qui porte aujourd'hui son nom, et ouvert ainsi la voie à de nombreux développements sur les invariants des nœuds et des variétés de dimension 3, dus, entre autre, à Vladimir Turaev, Edward Witten, Maxim Kontsevich. Les représentations des groupes de tresses via les algèbres de Hecke sont également liées à l'action des algèbres de Lie sur l'espace de Fock en physique théorique.

Équation de Yang–Baxter et mécanique statistique

Si V est un espace vectoriel et R un opérateur linéaire sur le produit tensoriel V ⊗ V, alors, en notant R_i, i+1 pour Id_i-1 ⊗ R ⊗ Id_n-i-1, il existe une représentation de B_n dans V⊗ⁿ envoyant σ_i sur R_i, i+1 si et seulement si R satisfait l'équation de Yang-Baxter R₁₂ ∘ R₂₃ ∘ R₁₂ = R₂₃ ∘ R₁₂ ∘ R₂₃. L'étude des solutions est liée à la théorie des groupes quantiques de Vladimir Drinfel'd, au calcul graphique de Vladimir Turaev et aux catégories tressées d'André Joyal et R. H. Street.

En mécanique statistique, les solutions de l'équation de Yang-Baxter mènent à la résolution de certains modèles à vertex. Les échanges entre mathématiques et mécanique se font dans les deux directions: c'est par le biais de la mécanique statistique que Louis Kauffman a d'abord construit le polynôme «crochet», un autre invariant d'isotopie des nœuds.

Représentation de Lawrence-Krammer

En 2000, Daan Krammer a construit en suivant une approche algébrique une représentation de B_n dans le groupe des matrices inversibles de taille n(n-1)/2 dont les coefficients sont des polynômes en deux variables t, q et leurs inverses, proche d'une représentation définie par Ruth Lawrence, et il a montré sa fidélité pour n = 4. Peu après, Bigelow a étendu le résultat à tout n par un argument géométrique, puis Krammer a généralisé sa propre démonstration. On sait donc désormais réaliser les groupes de tresses comme groupes de matrices.