TRESSES, mathématiques

Généralisations des groupes de tresses

En étendant l'une ou l'autre des diverses approches qui mènent aux groupe de tresses, on obtient des généralisations naturelles.

Ainsi, partant des tresses géométriques, une extension, suggérée par les travaux de Victor Vassiliev et Mikhail Gusarov (1958-1999) sur les nœuds, consiste à considérer des tresses dites singulières dans lesquelles des brins peuvent avoir des intersections, ce qui revient à ajouter de nouveaux générateurs τ_i (fig. 25). Luis Paris a montré récemment qu'en envoyant τ_i sur σ_i – σ_i^–1 on obtient un plongement des tresses singulières dans les combinaisons linéaires formelles de tresses, ce qui implique que les invariants de type fini séparent les tresses.

De même, l'approche algébrique dans laquelle on considère B_n comme un relèvement sans torsion du groupe symétrique S_n a été étendue par Jacques Tits à tous les groupes de Coxeter, qui sont des groupes engendrées par des réflexions d'un espace euclidien: on associe à chaque groupe de Coxeter W un groupe, dit d'Artin ou d'Artin-Tits, à l'aide d'une présentation analogue à la présentation (*) de B_n. Lorsque W est fini, la théorie de Garside reste valide, et les propriétés du groupe d'Artin-Tits associé sont semblables à celles de B_n (travaux de Pierre Deligne, Egbert Brieskorn et Kyoji Saito). Michel Broué, Gunther Malle et Raphaël Rouquier ont ensuite étendu la construction aux groupes de réflexions complexes, qui sont des généralisations naturelles des groupes de Coxeter.

De même encore, pour l'approche topologique, en remplaçant le disque troué EQ D \s\do6( n ) par une surface quelconque, on obtient la famille des groupes de tresses de surface, elle-même incluse dans la famille des groupes de difféotopies généraux. Ces derniers sont l'objet de nombreux travaux profonds; en particulier, ils satisfont l'alternative de Tits (Nikolai Ivanov et J. D. MacCarthy) et sont automatiques (Lee Mosher).

Enfin, l'approche par l'espace de configurations mène à la théorie des arrangements d'hyperplans et à l'étude des groupes fondamentaux de leurs complémentaires. Brieskorn et H. Van der Lek ont notamment montré que tout groupe d'Artin-Tits est groupe fondamental d'un espace lié à la réalisation du groupe de Coxeter correspondant par des réflexions.

Cryptographie

Au cours des années récentes, plusieurs systèmes cryptographiques basés sur les groupes de tresses ont été proposés (Michael Anshell et al., Ki-Hyoung Ko et al.). L'idée est de coder l'information dans des mots de tresse, et de protéger celle-ci grâce à la difficulté de trouver, lorsque b et b' sont des tresses conjuguées, une tresse c vérifiant b' = cbc^-1. L'existence de solutions efficaces au problème d'isotopie garantit l'efficacité de tels systèmes, mais, pour le moment, on sait mal construire des tresses pour lesquelles il soit certain que le problème de conjugaison considéré est difficile, ce qui pose problème pour le choix des clés et rend le futur de ces approches[...]