TURBULENCE

Divers types d'instabilités et de turbulences

La turbulence apparaît sous des formes extrêmement variées dans les fluides. L'évolution de ceux-ci obéit à un ensemble d'équations traduisant, d'une part, les bilans de certaines grandeurs (masse, quantité de mouvement, énergie, concentrations...) en suivant une particule fluide élémentaire, d'autre part, les lois physiques fixant les taux auxquels elles sont produites ou transférées dans la particule (effets des champs de forces, de la viscosité, de la conduction et de la diffusion moléculaires, des réactions chimiques, des forces électromagnétiques...) ou reliant différentes variables (équations d'état). Pour un problème particulier, les rapports des valeurs caractéristiques des termes jouant un rôle prépondérant dans l'une ou l'autre de ces équations constituent des paramètres de similitude dont dépend la nature régulière ou chaotique de la solution. Pour des conditions aux limites données (dont éventuellement de petites perturbations), ce sont donc les paramètres de similitude de la mécanique des fluides qui contrôlent les processus d'instabilité hydrodynamique associés à l'apparition d'écoulements de plus en plus complexes conduisant à la transition à une turbulence établie.

La notion de vorticité est utile ici. Définie comme le rotationnel du champ de vitesses, ω = Rot V, elle vaut le double de la vitesse instantanée de rotation sur elle-même de la particule fluide et jouit de propriétés remarquables, démontrées par Kelvin et Helmholtz au xix^e siècle :

– dans les cas simples, la vorticité ne peut être créée initialement ou dissipée finalement que sous l'action de la viscosité ;

– à cette dernière près, elle est conservée lors de mouvements à deux dimensions et les filets tourbillonnaires tangents au champ de vorticité sont toujours composés des mêmes particules fluides qu'ils suivent dans leur mouvement ;

– la conservation du moment cinétique de ces filets impose alors que la vorticité augmente lorsqu'ils s'allongent (en diminuant de section pour conserver la masse) et diminue dans le cas contraire. Ils ont enfin tendance à se grouper pour constituer au sein du fluide des tourbillons tournant en bloc en créant autour d'eux des répartitions particulières de vitesses induites.

Pour les écoulements usuels de fluides visqueux, le paramètre de contrôle est le nombre de Reynolds, Re = V.D/ν (où D et V sont respectivement les vitesse et dimension caractéristiques et ν la viscosité cinématique), rapport typique des termes d'inertie et de viscosité dans les équations de Navier-Stokes. L'instabilité primaire, toujours associée à la présence d'une vorticité de l'écoulement initial, prend des formes diverses. Dans tous les cas, même si elle se présente en structures tourbillonnaires organisées d'une orientation donnée, elle subit des instabilités secondaires : de la vorticité est transférée dans d'autres directions, puis amplifiée par l'extension des filets tourbillonnaires. Cela conduit très vite à la turbulence établie usuelle, fondamentalement tri-dimensionnelle, qui sera qualifiée ici de cinétique pour rappeler sa source d'énergie.

Dans une autre situation courante, un fluide pesant subit des variations de température (ou de composition) affectant sa masse spécifique ρ. En sus du nombre de Reynolds Re apparaissent alors deux autres paramètres : le nombre de Prandtl Pr = ν/k (rapport des diffusivités moléculaires pour la quantité de mouvement, ν, et pour la chaleur ou la masse, k), et le nombre de Rayleigh Ra = g.Δρ.D³/ν.k (où Δρ est un écart caractéristique de ρ entre les niveaux haut et bas), ou encore le nombre de Richardson Ri =[...]