VALIDITÉ, logique

Propriété de l'inférence qui la qualifie quant à sa fonction essentielle. L'inférence consiste à passer de propositions vraies assertées comme prémisses à une proposition vraie assertée comme conclusion. Si l'inférence est telle que, si je suis assuré de la vérité des prémisses, alors je le suis également de la vérité de la conclusion, l'inférence est dite valide ; dans le cas contraire, elle est dite invalide. Pour donner un sens intuitif à cette notion et rester fidèle à l'étymologie, on dira qu'il y a dans l'inférence valide assez de « force » pour que la propriété vraie se transmette des prémisses à la conclusion. Qu'une inférence soit valide signifie seulement que, si les prémisses sont vraies, alors la conclusion l'est aussi à coup sûr. Les prémisses, quant à elles, ne sont, bien entendu, pas toujours vraies. En logique formelle, la notion de validité est liée à celle d'interprétation. En logique propositionnelle, une formule (ou un schéma vérifonctionnel) est dite consistante si elle est vraie pour une certaine interprétation de ses lettres, une certaine distribution des valeurs de vérité sur les atomes propositionnels dont elle est constituée ; elle est dite inconsistante si elle n'est vraie pour aucune interprétation ; elle est dite valide si elle est vraie pour toutes les interprétations de ses lettres. Une formule est valide si et seulement si sa négation est inconsistante, et inconsistante si et seulement si sa négation est valide. Pour établir la validité d'une formule, il suffit de procéder à une analyse de vérité.

Une formule valide de la logique propositionnelle est une tautologie ; tout énoncé qui lui correspond est trivial, ne donne aucune information réelle. On peut noter que de telles formules peuvent être plus ou moins complexes et ne sont pas toujours reconnaissables comme telles sans un calcul. Les formules valides sont importantes dans la mesure où elles représentent des schémas d'inférences valides. Quine fait remarquer que l'implication est la validité de l'énoncé conditionnel (Méthodes de logique, Paris, 1973) : « On dit qu'un schéma vérifonctionnel en implique un autre s'il est impossible d'interpréter les lettres de façon à rendre le premier schéma vrai et le second faux. » De même, l'équivalence est la validité de l'énoncé bi-conditionnel.

Les concepts de validité et de consistance s'étendent aux schémas de termes booléiens. Un schéma de ce type est valide si toute interprétation de ses lettres fait de lui un terme qui est vrai de tout objet x. Bien entendu, on choisit l'univers de discours, le parcours d'objets x convenant à l'argument en question. Un schéma quantificationnel est valide s'il se révèle vrai pour toutes ses interprétations dans tous les univers non vides. Une lettre de terme est interprétée lorsqu'on a déterminé son extension, c'est-à-dire lorsqu'on a établi de quelles choses de l'univers elle doit être vraie. On sait qu'une lettre de phrase est interprétée lorsqu'elle se voit assigner une valeur de vérité. S'il y a une variable libre, on lui assigne un certain objet de l'univers. Généralement, la question de la validité d'un schéma ouvert se réduit à celle de la validité d'un schéma clos, à savoir sa clôture universelle (obtenue à partir du schéma ouvert en préfixant un quantificateur universel pour chaque variable libre).

— Françoise ARMENGAUD