VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.  Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomètres du xix^e siècle et du début du xx^e siècle. Les variétés différentiables sont considérées maintenant comme un outil de base des mathématiques. L'exposé qui suit comprend deux parties, conformément à l'idée originale de Riemann.

On trouvera d'abord, aux chapitres 1 à 5, la théorie générale, c'est-à-dire les conséquences de la notion de contact, indépendantes de toute notion métrique. Cette théorie générale des variétés peut être considérée comme la présentation moderne, et probablement définitive, du calcul différentiel.

Une variété différentiable est un espace topologique sur lequel on a pu, d'une façon raisonnable, définir des fonctions différentiables. L'outil essentiel pour ce faire est la notion de carte locale, que l'on retrouve aussi dans les définitions des variétés algébriques, des surfaces de Riemann et des espaces analytiques. Le but du présent exposé n'étant pas de faire une théorie complète des variétés différentiables, on s'est, pour l'essentiel, placé dans le cadre des sous-variétés d'un espace affine. Cette restriction n'est que de faible importance, puisque l'on peut démontrer que toute variété abstraite qui est réunion d'une famille dénombrable de compacts est difféomorphe (cf. chap. 1) à une sous-variété d'un espace affine. De même, on n'étudiera ici que les variétés de classe C∞.

La seconde partie (chap. 6, 7 et 8) est consacrée à la géométrie différentielle, c'est-à-dire aux variétés munies d'une structure métrique. C'est le cas par exemple des sous-variétés des espaces E_n. Une telle métrique est donnée par un produit scalaire sur chacun des espaces vectoriels tangents ; elle permet de définir des notions de volume, de courbure et de torsion qui généralisent celles que l'on connaît sur les surfaces et les courbes de E₃ et E₂. La géométrie différentielle est essentiellement l'étude des variétés munies d'une telle métrique. Pour certains problèmes, on doit munir les espaces tangents d'une structure plus riche, ou moins riche, qu'un produit scalaire ; on obtient ainsi par exemple les variétés kählériennes et les variétés pseudo-riemanniennes. Pour garder à l'exposé qui suit le caractère le plus géométrique possible, on n'en parlera pas ici. On ne parlera pas non plus des développements récents de la géométrie différentielle, dont beaucoup auraient plutôt leur place dans un exposé d'analyse fonctionnelle.

L'article géométrie différentielle classique est une bonne introduction, en dimensions 2 et 3, aux considérations développées dans le présent article ; une certaine habitude du calcul différentiel classique (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables) et de l'algèbre linéaire (cf. algèbrelinéaire) est également indispensable.

Notion de variété différentiable

Dans ce qui suit, E_n désigne l'espace topologique sous-jacent à Rⁿ. Si U est un ouvert de E_n et Ω un ouvert de E_p, on définit les applications de classe C^r, avec 1 ≤ r ≤ + ∞, de U dans Ω (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables). Les fonctions de classe C^r de U dans R forment une R-algèbre.