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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Tenseurs

Formes de degré 1

L'espace vectoriel F des champs de vecteurs de classe C∞ sur V est naturellement muni d'une structure de module sur l'anneau C∞ des fonctions de classe C∞. Une forme ω de degré 1 est une application C∞-linéaire de F dans C∞, c'est-à-dire la donnée, pour tout champ X, d'une fonction ω(X) de classe C∞ de façon que l'on ait :

pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs et pour toute fonction f.

Par exemple, si ϕ est une fonction de classe C∞, la correspondance X ↦ X(ϕ ) est une forme de degré 1. Si V est un ouvert de En, pour tout champ X de fonctions coordonnées (X1, ..., Xn), on a :

c'est pourquoi cette forme de degré 1 est appelée la différentielle de ϕ et on la note dϕ.

Une forme de degré 1 définit en tout point m un élément du dual T(V)m* de l'espace tangent T(V)m. On peut construire un fibré vectoriel de base V dont les fibres sont les espaces duaux T(V)*m ; les formes de degré 1 sont alors les sections de classe C∞ de ce fibré.

Tenseurs de type (p, q)

Soit F* le C∞-module des formes de degré 1 ; une application C∞-multilinéaire τ de (F*)p × Fq dans C∞ est appelée un tenseur de type (p, q) ; c'est donc la donnée, pour toute famille (ω1, ..., ωq) de formes de degré 1 et pour toute famille (X1, ..., Xp) de champs de vecteurs, d'une fonction :

de telle façon que les deux conditions suivantes soient satisfaites :

1. Si l'on fixe les Xj et tous les ωi sauf ωi0, on obtient une correspondance :

telle que :

2. Si l'on fixe les ωi et tous les Xj sauf Xj0, on obtient une correspondance :

telle que :

Les tenseurs de type (0,1) s'identifient aux champs de vecteurs de classe C∞ et les tenseurs de type (1, 0) sont les formes de degré 1. On peut aussi définir les tenseurs de type (p, q) comme sections d'un fibré vectoriel de base V, dont les fibres sont les produits tensoriels :

Produit tensoriel

Si τ est un tenseur de type (p, q) et τ′ un tenseur de type (p′, q′), en associant au système :

la fonction :
on définit un tenseur de type (q + q′, p + p′) ; c'est le produit tensoriel de τ et de τ′, que l'on note τ ⊗ τ′.

Si V est un ouvert de En, les champs (e1, ..., en) définis par :

constituent une base du C∞-module des champs de vecteurs ; les différentielles :
des fonctions coordonnées constituent une base du C∞-module des formes de degré 1. Les tenseurs de la forme :
constituent une base du C∞-module des tenseurs de type (p, q) ; tout tenseur de type (p, q) est donc défini par ses np+q composantes dans cette base. Plus généralement, si (U, ϕ) est une carte d'une variété V, les champs (e1, ..., en) se transportent en des champs (que l'on notera encore e1, ..., en) qui constituent une base du C∞-module des champs de vecteurs sur ϕ(U) ; de même, les fonctions coordonnées de ϕ−1 : ϕ(U) où U ⊂ Rn ont des différentielles dx1, ..., dxn qui constituent une base du C∞-module des formes de degré 1 ; les tenseurs de la forme :
constituent une base du C∞-module des tenseurs de type (p, q).

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