VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
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Tenseurs
Formes de degré 1
L'espace vectoriel F des champs de vecteurs de classe C∞ sur V est naturellement muni d'une structure de module sur l'anneau C∞ des fonctions de classe C∞. Une forme ω de degré 1 est une application C∞-linéaire de F dans C∞, c'est-à-dire la donnée, pour tout champ X, d'une fonction ω(X) de classe C∞ de façon que l'on ait :
![](/media_src/v23f0347c01.png)
pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs et pour toute fonction f.
Par exemple, si ϕ est une fonction de classe C∞, la correspondance X ↦ X(ϕ ) est une forme de degré 1. Si V est un ouvert de En, pour tout champ X de fonctions coordonnées (X1, ..., Xn), on a :
![](/media_src/v23f0347c02.png)
Une forme de degré 1 définit en tout point m un élément du dual T(V)m* de l'espace tangent T(V)m. On peut construire un fibré vectoriel de base V dont les fibres sont les espaces duaux T(V)*m ; les formes de degré 1 sont alors les sections de classe C∞ de ce fibré.
Tenseurs de type (p, q)
Soit F* le C∞-module des formes de degré 1 ; une application C∞-multilinéaire τ de (F*)p × Fq dans C∞ est appelée un tenseur de type (p, q) ; c'est donc la donnée, pour toute famille (ω1, ..., ωq) de formes de degré 1 et pour toute famille (X1, ..., Xp) de champs de vecteurs, d'une fonction :
![](/media_src/v23f0347c03.png)
1. Si l'on fixe les Xj et tous les ωi sauf ωi0, on obtient une correspondance :
![](/media_src/v23f0347c04.png)
![](/media_src/v23f0347c05.png)
2. Si l'on fixe les ωi et tous les Xj sauf Xj0, on obtient une correspondance :
![](/media_src/v23f0347c06.png)
![](/media_src/v23f0348a01.png)
Les tenseurs de type (0,1) s'identifient aux champs de vecteurs de classe C∞ et les tenseurs de type (1, 0) sont les formes de degré 1. On peut aussi définir les tenseurs de type (p, q) comme sections d'un fibré vectoriel de base V, dont les fibres sont les produits tensoriels :
![](/media_src/v23f0348a02.png)
Produit tensoriel
Si τ est un tenseur de type (p, q) et τ′ un tenseur de type (p′, q′), en associant au système :
![](/media_src/v23f0348a03.png)
![](/media_src/v23f0348a04.png)
Si V est un ouvert de En, les champs (e1, ..., en) définis par :
![](/media_src/v23f0348a05.png)
![](/media_src/v23f0348a06.png)
![](/media_src/v23f0348a07.png)
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Écrit par
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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Médias
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