VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
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Formes différentielles
Une forme différentielle de degré p est un tenseur de type (0, p) antisymétrique, c'est-à-dire tel que, quels que soient les champs (X1, ..., Xp) et la permutation σ de {1, ..., p}, de signature ε(σ), on ait :
![](/media_src/v23f0348a09.png)
Les formes différentielles de degré 1 sont les formes de degré 1 que l'on vient de définir au chapitre 3. Les formes de degré 2 sont les tenseurs de type (0, 2) tels que l'on ait ω(X, Y) = − ω(Y, X). Les formes de degré p constituent un module sur l'anneau C∞ ; on le notera ∧p. On peut aussi considérer les formes différentielles de degré p comme les sections de classe C∞ d'un fibré dont la fibre en m est la composante de degré p de l'algèbre extérieure du dual de l'espace tangent en m (cf. algèbrelinéaire, chap. 6). On en déduit que, pour p supérieur à la dimension de la variété, toute forme différentielle de degré p est nulle.
Produit extérieur
Le produit extérieur de la forme ω de degré p et de la forme ω′ de degré q est, par définition, la forme de degré p + q :
![](/media_src/v23f0348b01.png)
On sait que toute carte (U, ϕ) de la variété V de dimension n donne une base dx1, ..., dxn du module ∧1(ϕ(U)) des formes différentielles de degré 1 définies sur ϕ(U). Pour p > 1, les formes de degré p qui s'écrivent :
![](/media_src/v23f0348b02.png)
![](/media_src/v23f0348b03.png)
Si f : W → V est une application de classe C∞, à la forme :
![](/media_src/v23f0348b04.png)
![](/media_src/v23f0348b05.png)
![](/media_src/v23f0348b06.png)
Intégration des formes différentielles
Soit X une sous-variété compacte à bord de dimension n d'une variété V de dimension n (il se peut que le bord de X soit vide et même que X = V). Considérons une carte (U, ϕ) de V telle que :
![](/media_src/v23f0348b07.png)
![](/media_src/v23f0348b08.png)
![](/media_src/v23f0348b09.png)
![](/media_src/v23f0348b10.png)
Si V est orientée au voisinage de K, on peut décider de n'employer que des cartes compatibles avec cette orientation ; alors la quantité :
![](/media_src/v23f0348c01.png)
Soit maintenant une forme quelconque ω de degré n sur V et soit (Ui, ϕi), avec i ∈ I, une famille finie de cartes de V dont les images recouvrent X. On peut montrer qu'il existe une famille de fonctions numériques (fi), avec i ∈ I, telle que, pour tout i, la fonction fi soit nulle en dehors d'un compact Ki contenu dans ϕi(Ui) et que, pour tout point M de X, on ait :
![](/media_src/v23f0348c02.png)
![](/media_src/v23f0348c03.png)
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Écrit par
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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Médias
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