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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Formes différentielles

Une forme différentielle de degré p est un tenseur de type (0, p) antisymétrique, c'est-à-dire tel que, quels que soient les champs (X1, ..., Xp) et la permutation σ de {1, ..., p}, de signature ε(σ), on ait :

Les formes différentielles de degré 1 sont les formes de degré 1 que l'on vient de définir au chapitre 3. Les formes de degré 2 sont les tenseurs de type (0, 2) tels que l'on ait ω(X, Y) = − ω(Y, X). Les formes de degré p constituent un module sur l'anneau C∞ ; on le notera ∧p. On peut aussi considérer les formes différentielles de degré p comme les sections de classe C∞ d'un fibré dont la fibre en m est la composante de degré p de l'algèbre extérieure du dual de l'espace tangent en m (cf. algèbrelinéaire, chap. 6). On en déduit que, pour p supérieur à la dimension de la variété, toute forme différentielle de degré p est nulle.

Produit extérieur

Le produit extérieur de la forme ω de degré p et de la forme ω′ de degré q est, par définition, la forme de degré p + q :

où la sommation est effectuée sur toutes les permutations σ des entiers {1, 2, ..., p + q}.

On sait que toute carte (U, ϕ) de la variété V de dimension n donne une base dx1, ..., dxn du module ∧1(ϕ(U)) des formes différentielles de degré 1 définies sur ϕ(U). Pour p > 1, les formes de degré p qui s'écrivent :

avec 1 ≤ i1 < i2 < ... < ip ≤ n, constituent une base du module ∧p(ϕ(U)) des formes différentielles de degré p définies sur ϕ(U) ; donc toute forme différentielle ω de degré p définie sur ϕ(U) s'écrit :
où les ai sont des fonctions de classe C∞, la sommation étant faite sur l'ensemble des multi-indices i = (i1, ..., ip) tels que 1 ≤ i1 < ... < ip ≤ n.

Si f : W → V est une application de classe C∞, à la forme :

définie sur ϕ(U) on associe la forme :
où Fi est la i-ième fonction coordonnée de l'application composée :
on dit que f *(ω) est l'image inverse de ω par f.

Intégration des formes différentielles

Soit X une sous-variété compacte à bord de dimension n d'une variété V de dimension n (il se peut que le bord de X soit vide et même que X = V). Considérons une carte (U, ϕ) de V telle que :

et une forme ω de degré n sur V, qui est nulle en dehors d'un compact K contenu dans ϕ(U). La forme ω s'écrit :
si (U′, ϕ′) est une autre carte telle que ϕ′(U′) contienne K, la forme ω s'écrit également :
on voit facilement que, pour tout point M de K, α′(M) est le produit de α(M) par le déterminant de la différentielle de ϕ-1 ∘ ϕ′ au point ϕ′−1(M). Il en résulte que l'on a :
  c'est-à-dire que ces intégrales n-ièmes sont égales au signe près. Plus précisément, si K est connexe, le signe du déterminant de la différentielle de ϕ-1 ∘ ϕ′ est constant sur K ; s'il est positif, les deux intégrales sont égales et, s'il est négatif, elles sont opposées.

Si V est orientée au voisinage de K, on peut décider de n'employer que des cartes compatibles avec cette orientation ; alors la quantité :

est indépendante de la carte choisie ; on l'appelle l'intégrale de ω sur X et on utilise la notation ∫Xω.

Soit maintenant une forme quelconque ω de degré n sur V et soit (Ui, ϕi), avec i ∈ I, une famille finie de cartes de V dont les images recouvrent X. On peut montrer qu'il existe une famille de fonctions numériques (fi), avec i ∈ I, telle que, pour tout i, la fonction fi soit nulle en dehors d'un compact Ki contenu dans ϕi(Ui) et que, pour tout point M de X, on ait :

une telle famille de fonctions est appelée une partition de l'unité au-dessus de X, relative au recouvrement (ϕi(Ui)), avec i ∈ I. Pour tout i, on a déjà défini :
puisque fiω est[...]

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