VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
Variétés riemanniennes
Structures riemanniennes
Une structure riemannienne sur une variété V est la donnée d'une structure euclidienne sur chacun de ses espaces tangents. Donc, sur une variété riemannienne, si t et t′ sont deux vecteurs tangents au même point m, on peut parler de leur produit scalaire, de leurs longueurs et de leur angle. Bien entendu, pour qu'une telle donnée soit utilisable, il faut que, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe C∞, la fonction qui à tout point m associe le produit scalaire de X(m) et de Y(m) soit de classe C∞.
Il en résulte qu'une structure riemannienne est donnée par un tenseur τ de type (2, 0) symétrique (c'est-à-dire un tenseur tel que τ(X, Y) = τ(Y, X)) qui vérifie les deux conditions suivantes :
1. Pour tout champ X, on a τ(X, X) ≥ 0,
2. L'égalité τ(X, X)(m) = 0 équivaut à X(m) = 0.
Plus généralement, on peut considérer sur une variété V un tenseur τ de type (2, 0) symétrique tel que, pour tout point m de V, l'application τm soit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur l'espace tangent en m à V ; un tel tenseur est appelé une structure pseudo-riemannienne sur V. On démontre que la signature de τm est constante sur chaque composante connexe de V.
On sait que chacun des espaces tangents à En est, de manière naturelle, identifié à Rn. Il en résulte que, si l'on choisit un produit scalaire sur Rn, alors E, est muni d'une structure riemannienne ; en général, on prendra sur Rn le produit scalaire :
On va voir que les structures riemanniennes permettent de généraliser les constructions classiques (géodésiques, aires, courbure, etc.) que l'on sait faire sur les surfaces de E3.
Les variétés pseudo-riemanniennes ont des propriétés moins simples ; elles sont pourtant d'une grande importance en physique théorique, puisque la mécanique relativiste se définit essentiellement comme l'étude d'une variété pseudo-riemannienne de dimension 4 de signature (+, +, +, −).
Distance géodésique
On appellera courbe de classe C1 par morceaux tracée sur la variété V une application :
Pour tout couple (A, B) de points de V, notons d(A, B) la borne inférieure des longueurs des courbes de classe C1 par morceaux qui joignent A à B. Il est évident que d(A, B) ≥ 0, que d(A, B) = d(B, A) et que d(A, B) + d(B, C) ≥ d(A, C) ; on démontre que d(A, B) = 0 équivaut à A = B ; donc d est une distance sur la variété V (cf. espacesmétriques) ; la topologie déduite de cette distance coïncide avec la topologie donnée sur V. Cette distance est appelée la distance géodésique.
Les géodésiques
Courbe de longueur minimum
Encyclopædia Universalis France
Étant donné deux points A[...]
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Écrit par
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
Classification
Médias
Carte de la sphère S2
Encyclopædia Universalis France
Cylindre et bande de Möbius
Encyclopædia Universalis France
Courbe de longueur minimum
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1986. Né le 20 août 1957 à Cambridge (Grande-Bretagne), Simon Kirwan Donaldson fait ses études supérieures au Pembroke College de Cambridge et au Worcester College d'Oxford où il soutient sa thèse de doctorat en 1983. Il occupe ensuite...
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Ces considérations prennent une extension considérable en 1846 dans le mémoire d'habilitation de Bernhard Riemann.Riemann, loin de se restreindre à considérer des surfaces dans l'espace, introduit des objets de dimension quelconque (qu'on appelle aujourd'hui variétés différentielles... - Afficher les 18 références
