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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Connexions

Les connexions linéaires

Quel que soit le point M de En, l'espace T(En)M est identifié de manière naturelle à T(En)0 = Rn ; il en résulte que, si l'on a choisi une base B0 de Rn, tous les espaces tangents à En sont munis d'une base naturelle BM. On peut se demander si, pour toute variété V, on peut ainsi choisir, pour tout point M de V, une base BM de T(V)M, qui « varie continûment avec M ». Un tel choix est possible localement : il suffit de se donner une carte locale ; mais il ne l'est pas toujours sur toute la variété. En utilisant les notations de l'article topologie - Topologie algébrique, au chapitre 4, on voit que ce choix est possible si et seulement si le fibré tangent T(V) est trivial, ce qui n'est pas le cas pour S2, pour P2(R) ni pour P3(R). À défaut d'une telle famille de bases, on va chercher un processus qui permette de faire varier une base continûment le long de n'importe quelle courbe différentiable tracée sur la variété. Un tel processus est donné par une connexion linéaire.

Une connexion linéaire est la donnée, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe C∞, d'un champ de vecteurs ∇X Y de classe C∞ de façon que les deux propriétés suivantes soient vérifiées :

X, X′, Y et Y′ étant des champs de classe C∞ et f une fonction de classe C∞ quelconques.

La connexion linéaire ∇ étant donnée sur la variété V, considérons une courbe régulière :

et, pour tout t ∈ [α, β], un vecteur Y(t ) tangent à V en γ(t ) ; on suppose bien sûr que Y(t ) varie de façon C∞ par rapport à t. Soit, d'autre part, X∼ et Y∼ des champs de vecteurs tels que, pour tout t, on ait X∼(γ(t )) = X∼′(t ) et Y∼(γ(t )) = Y(t ). Alors la restriction de ∇X̃ Y∼ à la courbe ne dépend pas du choix de X∼ et Y∼, mais seulement de Y et de la courbe ; par abus de langage, on la note ∇γ′(t)Y. Si ∇γ′(t)Y est identiquement nul, on dit que le vecteur Y(t ) se transporte de façon équipollente le long de γ. Étant donné un vecteur y tangent à V en γ(α), il existe une famille Y(t ) et une seule qui se transporte de façon équipollente le long de γ et telle que Y(α) = y. Si l'on a dim V = n et si (y1, ..., yn) est une base de T(V)γ(α), on obtient, par transport équipollent, n familles Y1(t ), ..., Yn(t ) qui, pour tout t, définissent une base de T(V)γ(t). S'il existe une fonction ϕ telle que le vecteur Z(t ) = ϕ(t )Y(t ) se transporte de façon équipollente, on dit que Y se transporte parallèlement ; il revient au même de dire qu'il existe une fonction ϕ telle que :

On remarque que la correspondance :

n'est pas un tenseur de type (1, 2) : elle est C∞-linéaire en X et en ω, mais elle n'est que R-linéaire en Y. Cependant, à partir d'une connexion linéaire, on peut construire deux tenseurs classiques :

– le tenseur de torsion T, de type (1, 2), défini par :

– le tenseur de courbure R, de type (1, 3), défini par :

La dérivée covariante

Sur une variété riemannienne, on dit qu'une connexion ∇ est riemannienne si, chaque fois que deux familles de vecteurs Y(t ) et Z(t ) se transportent de façon équipollente le long d'une courbe γ, le produit scalaire de Y(t ) par Z(t ) est indépendant de t. Cela signifie encore que, si l'on transporte le long d'une courbe une base orthonormale, elle reste orthonormale. Pour que cette propriété soit vérifiée, il faut et il suffit que, pour trois champs (X, Y, Z) quelconques, on ait :

On démontre que, sur toute variété riemannienne, il existe une connexion riemannienne et une seule dont le tenseur de torsion est identiquement nul ; on l'appelle la dérivée covariante et on la notera D. Cette connexion est encore caractérisée par le fait que, pour toute géodésique γ, le[...]

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