VIBRATIONS MÉCANIQUES

Vibrations d'un système à un degré de liberté

Vibrations libres

L'équation différentielle régissant les petits mouvements à un paramètre se présente sous la forme :

Pour qu'il y ait équilibre, le temps t ne doit pas apparaître explicitement au second membre de cette équation. L'équation devient dans ce cas :

à l'équilibre q = q₀, q₀ étant solution de F(q₀, 0) = 0, on a q′ = 0 et q″ = 0.

Posons q = q₀ + ε, q′ = ε′, q″ = ε″.

Le développement de la fonction F(q, q′), limité au premier ordre, s'écrit au voisinage de (q₀, 0) :

lorsqu'on tient compte de la condition F(q₀, 0) = 0, on obtient l'équation :

qui peut encore s'écrire :

en posant :

c'est l'équation de l'oscillateur associé au problème étudié.

Cette équation peut être mise sous forme intrinsèque (indépendante des unités utilisées au cours des calculs numériques) ; à cet effet, on pose :

en choisissant ω₀ positif, et il vient :

cette équation régit des petits mouvements (c'est-à-dire des mouvements représentables par une fonction qui tend vers zéro quand t tend vers l'infini) dans les cas d'un mouvement pseudo-périodique (0 < λ < 1), d'un mouvement apériodique critique (λ = 1) et d'un mouvement à grand amortissement (λ > 1).

Modèle à un paramètre avec amortissement négligeable

Figure 1 - crédits : Encyclopædia Universalis France — Figure 1
Encyclopædia Universalis France

Soit un solide (S) en liaison rotoïde d'axe horizontal Oz. Ce solide est soumis aux efforts de liaison exercés par le rotoïde que l'on suppose parfait, aux efforts de pesanteur dont on désigne par g la densité vectorielle par unité de masse et, enfin, à une force F créée par un ressort dont une extrémité est fixée en un point A au bâti galiléen et dont l'autre extrémité est fixée en un point H de (S) tel que OH = hx_s. D'autre part, on suppose que le centre d'inertie G de (S) est situé sur la droite OH, c'est-à-dire que OG = ax_s ; la longueur naturelle de ce ressort est l, et k est la constante de dureté longitudinale ; l'extrémité A du ressort est accrochée en un point de coordonnées polaires (ρ, β) :

avec :

un tel appareillage peut être utilisé comme sismographe.

Nous supposerons qu'à l'équilibre l'angle α = (x, x_s) est nul. L'équation du moment dynamique en O en projection scalaire sur l'axe z s'écrit :

avec :

ce qui conduit à l'équation du mouvement :

On va appliquer ce résultat à l'étude de deux cas : celui où y est vertical ascendant (g = − gy), puis le cas où x est vertical descendant (g ≡ gx).

Dans le premier cas, on a :

Figure 2 - crédits : Encyclopædia Universalis France — Figure 2
Encyclopædia Universalis France

À l'équilibre, OG est horizontal par hypothèse, c'est-à-dire que l'équation du mouvement :

doit être satisfaite pour α ≡ 0 :

où l'on désigne par (HA)_e = l_e la longueur prise par le ressort lorsque le système est en équilibre :

On remarque (ce qui est évident intuitivement) qu'à l'équilibre, d'une part, l_e> l si sin β > 0 (ressort travaillant à la traction) et, d'autre part, l_e< l si sin β < 0 (ressort travaillant à la compression).

L'équation de l'oscillateur linéaire associé au problème étudié permet de déterminer les petits mouvements autour de la valeur α = 0 à partir de :

Supposons pour fixer les idées que :

cette équation linéaire de l'oscillateur associé se réduit à :

en tenant compte de ce que :

on obtient l'équation :

ce qui confère aux petits mouvements (s'ils existent) une pulsation propre ω₁ et une période T₁ telles que :

Dans le second cas, on a :

Le ressort doit être assez dur, avec k > mga/h², pour qu'un équilibre où OG reste horizontal soit stable et que l'équation de l'oscillateur linéaire associé soit donc une équation de vibration.[...]

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Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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Ressort ne jouant aucun rôle - crédits : Encyclopædia Universalis France — Ressort ne jouant aucun rôle

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