VIBRATIONS MÉCANIQUES
Vibrations d'un ensemble mécanique à deux degrés de liberté
Les équations des vibrations libres d'un tel ensemble :
Aussi bornerons-nous l'exposé actuel à quelques exemples permettant de mettre en jeu certaines notions nouvelles et une terminologie usuelle (quoique non significative).
Exemple de deux pendules
Pendules et ressorts traction/compression
Encyclopædia Universalis France
Deux pendules identiques (S1) et (S2) oscillent, dans un même plan vertical, autour de deux axes horizontaux parallèles. Ils sont réunis par un ressort de traction-compression (R). On se propose d'étudier les petits mouvements du système autour de sa position d'équilibre.
Les articulations (O1) et (O2) sont supposées parfaites :
On désigne par m la masse de chacun des pendules, par C le moment d'inertie de S1 par rapport à O1z et de S2 par rapport à O2z. On pose :
Les équations du mouvement sont :
On remarque que, si l'on pose :
Formules
Encyclopædia Universalis France
De ces résultats on déduit les valeurs de α(t ) et de β(t ) que présente le tableau.
Si, pour t = 0, on a :
Les pendules partent et oscillent en phase ; ils restent parallèles et le ressort (R) ne joue aucun rôle. Si, à t = 0, on a :
Dans ce cas, les pendules partent et oscillent en opposition et le point M situé au milieu du ressort est fixe.
Les variables p1 et p2 qui se sont introduites très naturellement dans cette étude sont appelées paramètres normaux du système. Chaque fois (comme c'est le cas dans cet exemple) que le système différentiel régissant les vibrations libres d'un ensemble à deux degrés de liberté se présente sous la forme :
On voit ainsi sur l'exemple la fragilité d'une telle terminologie puisqu'il est possible de déterminer des variables p1 et p2 dites normales et qui ne sont pas couplées.
Couplage gyroscopique
On dit que deux variables ε1 et ε2 sont couplées gyroscopiquement pour exprimer que, dans la première équation, le terme pendulaire en ε1 est accompagné du terme (− bε′2) et que, dans la seconde équation, le terme pendulaire en ε2 est accompagné du terme (bε′1) :
Rotor et axe de révolution
Encyclopædia Universalis France
L'usage de cette terminologie provient du fait que de telles équations se rencontrent dans l'étude d'un ensemble mécanique comportant un rotor tournant à une très grande vitesse angulaire Ω. L'armature externe est mobile autour de l'axe vertical Oz ; elle est rappelée à la position ψ = ε1 = 0 par un ressort (R1). L'armature interne est mobile (par rapport à l'armature externe) autour de l'axe horizontal mobile Ou ; elle est rappelée à la position ε2 = θ − π/2 = 0 par un ressort (R2). Le rotor est mobile (par rapport à l'armature interne) autour de son axe de révolution Ozs avec une vitesse angulaire supposée constante Ω. Le centre d'inertie commun à l'armature externe, à l'armature interne et au rotor est O. Les équations de vibration d'un tel système sont :
Quand le rotor ne tourne pas (Ω = 0), les paramètres de vibrations ε1 et ε2 sont découplés et admettent les pulsations :
Quand le rotor tourne (Ω ≠ 0), les paramètres ε1 et ε2 sont couplés gyroscopiquement. Si l'on cherche une solution[...]
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Médias
Ressort ne jouant aucun rôle
Encyclopædia Universalis France
Figure 1
Encyclopædia Universalis France
Figure 2
Encyclopædia Universalis France
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