VIBRATIONS MÉCANIQUES

Équations du mouvement d'un ensemble mécanique à n paramètres

On va limiter l'étude d'un ensemble mécanique à n paramètres aux cas où les n paramètres q₁, ..., q_n situant l'ensemble (D) sont indépendants et solutions du système différentiel de Lagrange à n équations (cf. mécanique analytique, chap. 1) :

L'énergie cinétique galiléenne T de l'ensemble mécanique (D) est une fonction quadratique homogène des dérivées (q′₁, ..., q′_n) des variables (q₁, ..., q_n) par rapport au temps t :

dont les coefficients A_kl sont des fonctions de (q₁, ..., q_n), ce qu'on exprime symboliquement par A_kl (q).

Les fonctions Q_i sont des fonctions connues pour chaque cas et dépendent très généralement de (q₁, ..., q_n), de (q′₁, ..., q′_n) et de t, et on les écrit :

soit symboliquement Q_i(q, q′|t ). Dans ces conditions, la i-ième équation de Lagrange s'explicite ainsi :

c'est-à-dire, en utilisant la convention d'Einstein,

avec :

Deux circonstances sont particulièrement considérées dans les applications.

1. Le système différentiel admet la solution :

c'est-à-dire que l'ensemble mécanique étudié peut garder une configuration invariable au cours du temps : on dit alors que l'ensemble est en équilibre dans un galiléen. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que les n équations suivantes soient satisfaites quel que soit t ; on écrit la i-ième de ces équations :

ce qui exige que t ne figure explicitement dans aucune des expressions des fonctions Q_i. S'il en est ainsi, le système :

constitue le système des équations d'équilibre de (D) et permet de déterminer un ou plusieurs ensembles de valeurs (e₁, ..., e_n) dont chacun caractérise une configuration d'équilibre possible. La question est de savoir si cet équilibre est stable. S'il en est ainsi, l'étude des fonctions de t :

est dite étude des petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre stable, ou vibrations, de l'ensemble mécanique (D).

Ce problème est généralement difficile à justifier par une théorie mathématique rigoureuse. C'est pourquoi on lui substitue, par définition, l'étude du système linéaire (d'oscillateurs associés) défini par :

où symboliquement :

est le développement limité au premier ordre de la fonction Q_i par rapport à l'ensemble de ses variables ε_k, ε′_k. On pose :

On remarque que l'on a a_ik = a_ki et que, par conséquent, la matrice carrée (a) d'élément général a_ik est symétrique ; mais, comme :

la matrice (b) d'élément général b_ik et la matrice (c) d'élément général c_ik ne sont pas symétriques en général.

La i-ième équation du système d'oscillateurs associés s'écrit donc, en vertu de ces notations :

et l'on peut exprimer le système, pour les vibrations libres, sous forme matricielle :

où (ε), (ε)′ et (ε)″ sont des matrices colonnes.

Il arrive que, sans être indépendants de t, les Q_i se présentent sous la forme :

le système différentiel régissant les vibrations des oscillateurs associés s'écrit, pour les vibrations forcées, dans ce cas :

où la matrice (Φ) est une matrice colonne fonction du temps.

2. Le système différentiel admet la solution :

les Ω étant des constantes ; c'est-à-dire que, parmi les paramètres de configuration de l'ensemble mécanique, certains restent constants (par exemple les k premiers, pour fixer les idées), tous les autres sont des fonctions du premier degré du temps : i = k + 1, ..., n et q_i = Ω_it + α_i (fonctions à dérivées constantes). On dit alors que l'ensemble mécanique est dans un état stationnaire. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire que les n équations suivantes soient satisfaites quel que soit t ; on écrit la i-ième de ces identités :

On obtient ainsi n identités par rapport[...]

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Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers

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