VIBRATIONS MÉCANIQUES
Vibrations des systèmes continus
Dans un certain nombre de problèmes de vibrations posés à l'ingénieur, il arrive que le schéma ne puisse pas être étudié à l'aide d'un nombre fini de degrés de liberté : cordes, plaques et membranes, barres, etc. On dit alors que l'ensemble mécanique est susceptible d'un schéma continu. L'étude de telles vibrations fait intervenir des équations aux dérivées partielles qui sont généralement intégrées par le procédé de séparation entre les variables de situation et la variable t.
Les résultats essentiels sont indiqués sans démonstration à propos des exemples fondamentaux.
Vibrations d'une corde
Vibrations d'une corde
Encyclopædia Universalis France
Les vibrations d'une corde sont représentées sur la figure. L'équation de propagation s'écrit :
On cherche une solution de la forme :
Vibrations d'une membrane
Soit une membrane parfaitement flexible tendue sur un contour plan (C) situé dans (xOy), comme peut l'être une broderie dans un cadre en cours d'ouvrage. À l'équilibre, la membrane est située dans le plan (xOy), à l'intérieur de (C), et elle est tendue par une force que l'on supposera uniforme sur (C) et normale à (C) : P désigne l'intensité de la force exercée par l'unité de longueur de (C) sur la membrane.
Lorsque la membrane vibre, la parcelle de cette membrane qui, à l'équilibre, a pour coordonnées (x, y, 0) est située à la date t au point M′ de coordonnées x, y, z(x, y, t ). L'équation aux dérivées partielles de telles vibrations est :
où μ est la masse spécifique surfacique de la membrane.
On cherche une solution de la forme :
et l'on trouve :
Vibrations longitudinales d'une barre prismatique
Barre prismatique : déplacement
Encyclopædia Universalis France
Le déplacement u(x, t ) de la section droite d'une barre prismatique qui a pour abscisse x à l'équilibre est régi par l'équation aux dérivées partielles :
Le matériau dont la barre est constituée a pour module de Young E et pour masse spécifique volumique ρ. Cette équation aux dérivés partielles s'intègre de la même manière que celle d'une corde vibrante.
Vibrations de torsion d'une pièce cylindrique
L'angle α dont tourne une section d'abscisse x au cours des vibrations de torsion d'une pièce cylindrique est une fonction α(x, t) dont les variations sont régies par l'équation aux dérivées partielles :
dans laquelle G = E/2(1 + ν) est le module de Coulomb et ν le coefficient de Poisson du matériau dont est constituée la barre. Cette équation s'intègre de la même manière que celle d'une corde vibrante.
Vibrations de flexion d'une barre prismatique
Barre prismatique : vibrations de flexion
Encyclopædia Universalis France
Les vibrations de flexion d'une barre prismatique sont représentées sur la figure.
L'équation aux dérivées partielles des vibrations correspondantes est :
On cherche une solution de la forme : y(x, t ) = Y(x)f (t ), et l'on trouve :
Les applications de ces résultats sont innombrables mais font intervenir avec précision les conditions aux limites imposées par l'environnement immédiat du milieu continu. Dans beaucoup de questions, on se contente de représenter un système continu par une équation pendulaire, ce qui permet déjà d'en déterminer la pulsation propre fondamentale (méthode de Rayleigh). Ce résultat n'est qu'approché, mais permet d'obtenir rapidement une solution simple et justifie les développements effectués à propos du schéma à un paramètre.
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Médias
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