WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)

Après sa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien Alexandre Grothendieck. C'est là qu'en 1973 il prouve la troisième conjecture de Weil « sur les valeurs propres des endomorphismes de Frobenius ». André Weil, mathématicien français, dont les travaux portaient principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres, avait démontré l'« hypothèse de Bernhard Riemann pour les courbes algébriques sur un corps fini », qui permet d'obtenir la meilleure majoration possible du nombre de solutions d'une équation polynomiale à deux variables sur un corps fini en fonction du genre de la courbe donnée par cette équation. En cherchant à généraliser ces résultats au cas des équations polynomiales contenant un nombre quelconque de variables, Weil avait émis une série de conjectures qui se révélèrent très fécondes pour le développement de la géométrie algébrique des décennies suivantes.

En juillet 1973, Deligne exposa ses résultats lors de six conférences données à l'université de Cambridge, transcrites l'année suivante sous le simple titre « La Conjecture de Weil » dans la revue Publications mathématiques de l'I.H.E.S. Deligne rappelle d'abord la théorie de Grothendieck, dont il se sert ensuite abondamment parce qu'elle permet une interprétation cohomologique de certaines fonctions. Il présente aussi quelques résultats utiles de la théorie de Solomon Lefschetz qui avait introduit l'usage d'outils topologiques dans la géométrie algébrique. Il présente enfin sa démonstration « sous une forme aussi géométrique et élémentaire que possible ». Ce résultat vaudra à Deligne d'obtenir la médaille Fields en 1978.

— Bernard PIRE