RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

Articles

• RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 000 mots

  Après la mort de Georg Friedrich Bernhard Riemann, son œuvre fut publiée en un seul volume, y compris les fragments posthumes, et cette brièveté ne tient pas seulement à la fin précoce du mathématicien : d'une part, ses démonstrations sont très intuitives, souvent incomplètes, sinon absentes ; d'autre...

• DISSERTATIONS (B. Riemann)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 215 mots
  • 1 média
  

  La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 528 mots
  ...x₁ + x₂ et x₁x₂ comme fonctions analytiques des deux variables complexes u₁, u₂, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «   genre » de la...

• ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 6 250 mots
  • 1 média
  Cette méthode a été utilisée par Riemann en 1863 pour étudier le comportement asymptotique de la fonction hypergéométrique et Debye l'a systématiquement développée dans deux mémoires de 1909 et 1910. Il s'agit d'étudier, pour t réel tendant vers l'infini, des intégrales du...

• CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 836 mots

  Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...

• DÉMONSTRATION (notions de base)

  • Écrit par Philippe GRANAROLO
  • 3 085 mots
  ...suffit à démontrer l’inexactitude de la proposition initiale. Pour procéder ainsi, deux mathématiciens, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et Bernhard Riemann (1826-1866) partirent d’axiomes différents de celui d’Euclide. Lobatchevski partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une...

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par Claude BARDOS et Martin ZERNER
  • 5 849 mots
  • 7 médias
  Cette méthode, due à Glimm (1966) repose sur une analyse de solutions particulières du problème. On commence par regarder le problème de Riemann, qui est la résolution de l'équation :

  

  avec :

  

  avec une donnée initiale constante pour x < 0 et pour x > 0 et présentant une discontinuité...

• ESPACE, mathématique

  • Écrit par Jean-Marc SCHLENKER
  • 1 670 mots
  Ces considérations prennent une extension considérable en 1846 dans le mémoire d'habilitation de Bernhard Riemann. Riemann, loin de se restreindre à considérer des surfaces dans l'espace, introduit des objets de dimension quelconque (qu'on appelle aujourd'hui variétés différentielles...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 12 743 mots
  • 9 médias
  La condition de dérivabilité complexe au point z₀ peut aussi s'écrire :

  

  où ε(u) tend vers 0 pour |u| → 0. Si on pose f (x + iy) = f (x, y), on aura :

  

  ce qui exprime que la fonction f (x, y), considérée comme fonction des deux variables réelles x et y, est dérivable...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 5 285 mots
  • 10 médias
  ...sont conformément équivalents au disque unité : le demi-plan, un secteur angulaire, une bande ou une demi-bande, l'extérieur d'une parabole. En fait, Riemann a obtenu (par une démonstration un peu incomplète) le remarquable résultat suivant : Tout domaine D différent du plan C et simplement connexe...

• FORME

  • Écrit par Jean PETITOT
  • 27 344 mots
  ...l'on considère une loi de conservation du type :

  

  avec la condition initiale u(x, 0) = Φ(x) [loi dont un cas particulier est l'équation de Riemann :

  

  décrivant l'évolution u(x, t) du profil des vitesses d'une onde], au bout d'un certain temps, les solutions initialement C...

• GÉOMÉTRIE

  • Écrit par François RUSSO
  • 10 631 mots
  • 4 médias
  Quant à l'hypothèse de l'angle obtus, en 1854, elle est reconnue acceptable par Riemann, bien qu'elle conduise à affirmer que les droites sont de longueur finie et que deux droites peuvent enfermer un espace.

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 2 médias
  C'est sans doute l'une des plus célèbres conjectures mathématiques que celle de Riemann sur les zéros de la fonction ζ. Rappelons qu'on a par définition :

  

  qui définit une fonction méromorphe dans le plan complexe, avec des zéros simples, dits « triviaux » aux points — 2, — 3, ... Riemann a...

• LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 315 mots
  ...prix Lobatchevski décerné par l'université de Kazan à des recherches sur la géométrie, de préférence non euclidienne. Dans sa Dissertation inaugurale, Bernhard Riemann avait abordé ce problème analytiquement, de manière abstraite, en introduisant les notions de « multiplicité numérique » et de métrique,...

• NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 5 567 mots
  ...concernant les cordes vibrantes et la propagation de la chaleur qui ont amené à élargir le champ des fonctions. Les travaux de Dirichlet (1829) et de Riemann (1854) sur l'intégration et sur les séries trigonométriques, et même ceux de Cantor sur les ensembles de points (1871) y puisent leur...

• PSYCHANALYSE

  • Écrit par Pierre KAUFMANN
  • 17 239 mots
  • 1 média
  ...pensée ordinale et le modèle électrique. Car une élaboration ordinale est effectivement intervenue dans la théorie de l'électricité. Elle a été le fait de Riemann, qui, en 1857, applique aux circuits de Kirchhoff les ressources de l'analysis situs, sous les espèces d'une théorie générale des connexions....

• RELATIVITÉ - Relativité générale

  • Écrit par Thibault DAMOUR et Stanley DESER
  • 11 950 mots
  • 3 médias
  ...constants, mais de la métrique quadratique plus générale (3). Ces espaces métriques plus généraux ont été étudiés d'abord par Gauss puis par Riemann et sont des géométries riemanniennes. Ils sont munis d'une notion de différentiation covariante ∇_μ qui se réduit à la dérivation partielle...

• SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

  • Écrit par Jean-Pierre KAHANE
  • 5 373 mots
  • 1 média
  ...certaines fonctions, Dirichlet considère une fonction ϕ égale à a pour x rationnel et à b pour x irrationnel, a étant différent de b. Avec le concept d'intégrale qu'on avait à l'époque, et qui allait être formalisé parRiemann, il s'agit en effet d'une fonction non intégrable.

• THÉORÈMES DES INTÉGRALES DE CAUCHY

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 525 mots

  L’élaboration des méthodes qui aboutiront au théorème intégral de Cauchy dans l’analyse complexe s’étend sur plusieurs années. L’étude des fonctions d’une variable complexe a en effet occupé Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) pendant toute sa jeunesse, et il a développé sa théorie...

• VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par Claude MORLET
  • 9 807 mots
  • 7 médias

  On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.  Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde...

• ZÊTA FONCTION

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 2 949 mots
  ...pour s = σ + it de partie réelle σ > 1 et représentent la même fonction analytique ζ(s) dans ce domaine. Le résultat fondamental de Riemann est qu'il est possible de prolonger cette fonction en une fonction méromorphe dans tout le plan, vérifiant l' équation fonctionnelle :...

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