DÉRIVÉES PARTIELLES ÉQUATIONS AUX

Articles

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par Claude BARDOS et Martin ZERNER
  • 5 849 mots
  • 7 médias
  

  Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs...

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par Claude BARDOS
  • 10 628 mots
  • 3 médias
  

  L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans...

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

  • Écrit par Martin ZERNER
  • 6 220 mots
  • 1 média
  

  On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.

  Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires...

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par Martin ZERNER
  • 5 367 mots

  Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions...

• ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

  • Écrit par Yves GAUTIER
  • 1 553 mots
  • 2 médias
  

  Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(x, y, z) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traçant ainsi sa trajectoire....

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 528 mots
  ...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviii^e siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces.

• CAFFARELLI LUIS (1948- )

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 1 254 mots
  • 1 média

  Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par René TATON
  • 11 465 mots
  • 3 médias
  En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart...

• CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 1 402 mots
  • 1 média
  ...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait...

• DARBOUX GASTON (1842-1917)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 320 mots

  Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale...

• ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par Gilles LACHAUD
  • 1 423 mots
  Dans une équation aux dérivées partielles, les inconnues sont des fonctions de plusieurs variables, et l'équation comprend la fonction f et ses dérivées partielles ∂f /∂x, etc. Le Laplacien Δf d'une fonction est la somme de ses dérivées partielles secondes. Pour une fonction f...

• EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par Christian HOUZEL et Jean ITARD
  • 2 759 mots
  • 1 média
  ..., l'étude de l'équation hypergéométrique et son intégration par une série entière, la résolution de nombreuses équations différentielles ou aux dérivées partielles par la méthode du facteur intégrant et les équations du calcul des variations. Comme d'Alembert l'avait reconnu à propos des cordes...

• FORME

  • Écrit par Jean PETITOT
  • 27 344 mots
  ... On voit ainsi bien apparaître le lien entre optique géométrique et optique ondulatoire. C'est celui qu'on trouve en général dans les équations aux dérivées partielles hyperboliques ; l'existence d'une infrastructure hamiltonienne (bicaractéristiques, caractéristiques, etc.). À l'opérateur D est associé...

• FOURIER JOSEPH (1768-1830)

  • Écrit par Louis CHARBONNEAU
  • 1 849 mots
  ...la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une «  fonction arbitraire...

• FREDHOLM IVAR (1866-1927)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 320 mots

  Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce...

• GREEN GEORGE (1793-1841)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 312 mots

  Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia...

• HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 401 mots
  Cherchant toujours à rester en contact étroit avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 2 médias
  ...mérite un instant de réflexion : Hilbert suggère qu'on s'intéresse à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux dérivées partielles) non linéaires de type polynomial. Cet exemple est beaucoup plus restreint (comme des résultats...

• HÖRMANDER LARS (1931-2012)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 243 mots

  Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures...

• KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 421 mots
  • 1 média
  Kolmogorov a consacré de nombreuses publications aux équations aux dérivées partielles de la physique. Les équations de Navier-Stokes étaient le prototype des équations qui interviennent dans l'étude de la réaction-diffusion, la turbulence et la mécanique statistique.

• KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 261 mots

  Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune...

• LAX PETER (1926- )

  • Écrit par Encyclopædia Universalis et Jeremy John GRAY
  • 658 mots

  Mathématicien américain d'origine hongroise, Peter Lax reçut en 2005 le prix Abel « pour ses contributions novatrices à la théorie et à l'application des équations différentielles et au calcul de leurs solutions ». Il est l'un des rares chercheurs dont les découvertes vont des bases théoriques...

• LERAY JEAN (1906-1998)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 417 mots

  Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment....

• LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 598 mots

  Mathématicien français dont les travaux portent sur la géométrie différentielle, la mécanique et la physique mathématique. Né le 21 janvier 1915 à Bourbon-L'Archambault (Allier), élève de l'École normale supérieure, André Lichnerowicz a enseigné dans les universités de Strasbourg (1941-1949),...

• LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 315 mots
  Le premier théorème affirme que, sous l'hypothèse que les paramètres sont « effectifs », les fonctions f_i de (1) vérifient uneéquation aux dérivées partielles :

  

  où la matrice (ξ_ki) est de rang maximal et det (Ψ_ij) ≠ 0. Réciproquement, si les fonctions f_i ont cette propriété,...

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