DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Articles

• DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE , Marcel DAVID et Encyclopædia Universalis
  • 6 121 mots
  • 1 média
  

  Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées...

• PRIX ABEL 2020

  • Écrit par Jean-François QUINT
  • 1 824 mots
  • 2 médias

  Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

  Hillel...

• ARITHMÉTIQUES (Diophante)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 188 mots

  Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...

• BAKER ALAN (1939-2018)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 338 mots

  Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...

• CASSELS JOHN WILLIAM SCOTT (1922-2015)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 328 mots

  Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des nombres. Né le 11 juillet 1922 à Durham, John William Scott Cassels est le fils du directeur de l'agriculture du comté de Durham dans le nord de l'Angleterre. Après des études secondaires et supérieures à Édimbourg (Écosse), il est admis en...

• CATALAN ÉQUATION DE

  • Écrit par Maurice MIGNOTTE
  • 511 mots

  Dans une note publiée au Journal de Crelle en 1844, le Belge Eugène Catalan (1814-1894), alors répétiteur à l'École polytechnique, proposait l'énoncé suivant : « Il n'existe que deux nombres entiers consécutifs qui soient également des puissances parfaites, et ces deux nombres sont 8 et 9 ». L'expression...

• DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 194 mots
  • 1 média

  Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation xⁿ + yⁿ = zⁿ n'admet...

• DIOPHANTE D'ALEXANDRIE

  • Écrit par Roshdi RASHED
  • 2 902 mots
  ...à eux, lire dans les Arithmétiques, sinon en toutes lettres, du moins en filigrane, les concepts et les instruments de la géométrie algébrique ; dans ce cas Diophante ne serait pas seulement le prédécesseur de Fermat, mais de Hilbert, de Hurwitz et de Poincaré, et serait alors l'ancêtre de tous...

• ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par Gilles LACHAUD
  • 1 423 mots
  Les équations diophantiennes (du nom de Diophante d'Alexandrie) sont les équations algébriques à plusieurs variables et à coefficients entiers, dont on cherche les solutions en nombres entiers, ou bien en nombres rationnels. Comme il y a plusieurs variables, on leur donne parfois le nom ambigu...

• ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

  • Écrit par Jean ITARD
  • 5 672 mots
  ...précisément dans Q⁺. Pour eux, une condition supplémentaire s'impose : b² − 4 ac doit être le carré d'un rationnel. Toute l'algèbre diophantienne trouve là son origine. Elle est tenue à manipuler des équations indéterminées où certaines expressions doivent être des carrés parfaits dans...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 2 médias
  ...par Wiles (1994). Hilbert ne proposait que de chercher un algorithme (nous emploierons ce terme, qui n'est pas celui qu'emploie Hilbert, en admettant son sens intuitif) permettant de déterminer en un nombre fini d'opérations si uneéquation diophantienne a des solutions (entières).

• ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

  • Écrit par Georges C. ANAWATI , Encyclopædia Universalis et Roshdi RASHED
  • 22 273 mots
  • 2 médias
  ...al-Zanjānī emprunte la plupart des problèmes d'al-Karajī et des quatre premiers livres de la version arabe de Diophante ; Ibn al-Khawwām se pose certaines équations diophantiennes, dont d'équation de Fermat pour n = 3 (x³ + y³ = z³) ainsi que Kamāl al-Dīn al-Fārisī, dans son grand commentaire...

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 12 998 mots
  Les problèmes de théorie des nombres conduisant à résoudre des équations de degré ≥ 2 ont progressivement montré la nécessité d'étudier les propriétés arithmétiques des nombres algébriques et de bâtir ainsi une extension de l'arithmétique élémentaire. Le premier de ces problèmes est probablement celui...

• POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par Gérard BESSON , Christian HOUZEL et Michel PATY
  • 6 137 mots
  • 2 médias
  En théorie des nombres, il étudia les équations diophantiennes, qu'il traita par les méthodes de la géométrie algébrique, balisant un terrain neuf, celui de la « géométrie algébrique sur le champ des rationnels », montrant que les points à coordonnées rationnelles sur une courbe ...

• RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

  • Écrit par Kenneth Mc ALOON , Bernard JAULIN et Jean-Pierre RESSAYRE
  • 8 914 mots
  ...second théorème d' incomplétude de Gödel (cf. Indécidabilité et décidabilité pour d'autres formes). Ce résultat affirme qu'il existe une équation diophantienne n'admettant pas de racines dans N et dont on ne peut pas démontrer qu'elle est sans solution. Dans la formulation originale,...

• SIEGEL CARL LUDWIG (1896-1981)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 433 mots

  Mathématicien allemand, né à Berlin et mort à Göttingen, dont les travaux portent principalement sur la théorie des nombres et les fonctions automorphes. Carl Ludwig Siegel fut l'élève de G. F. Frobenius ; il enseigna aux universités de Francfort et de Göttingen et fut membre de l'Institute for...

• SYLVESTER JAMES JOSEPH (1814-1897)

  • Écrit par Encyclopædia Universalis
  • 413 mots

  Mathématicien anglais, né et mort à Londres, qui a créé avec Arthur Cayley la théorie des invariants algébriques.

  En 1838, James Joseph Sylvester devint professeur de philosophie naturelle au collège de l'université de Londres. En 1841, il accepta la chaire de mathématiques de l'université...