HILBERT ESPACE DE

Articles

• HILBERT ESPACE DE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 3 231 mots

  La théorie des espaces hilbertiens trouve son origine dans celle des développements de fonctions arbitraires en séries de fonctions orthogonales, lesquelles apparaissent le plus souvent comme fonctions propres de certains opérateurs différentiels linéaires (séries de Fourier, fonctions sphériques, théorie...

• ALGÈBRE

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 7 143 mots
  ...les équations différentielles et surtout les équations aux dérivées partielles, Hilbert introduit, à l'aube du xx^e siècle, le célèbre espace de Schmidt et utilise systématiquement des techniques linéaires pour étudier les opérateurs dans cet espace et c'est Toeplitz, élève de Hilbert,...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 528 mots
  ...cela que les suites x = (x_p) de nombres réels telles que :

  

    forment un espace vectoriel de dimension infinie que l'on appelle l'espace de Hilbert H. On tire aisément de la définition (7) que l'on a :

  

  et que pour tout « vecteur » x ∈ H, la série :

  

  est convergente ; en outre,...

• ERGODIQUE THÉORIE

  • Écrit par Antoine BRUNEL
  • 3 277 mots
  ...de puissances p-ièmes intégrables :

  

  p étant un nombre réel donné 1 ≤ p < + ∞. On sait que L² est muni d'une structure d' espace de Hilbert (cf. espace dehilbert) où le produit hermitien de deux éléments f₁ et f₂ est défini par :

  

  f₂ est la conjuguée complexe de f₂ et...

• GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par Everett DADE
  • 3 633 mots
  Une autre famille de généralisations de la théorie classique concerne les représentations unitaires continues d'un groupe topologique sur un espace de Hilbert. Un groupe topologique G est un groupe muni d'une topologie par rapport à laquelle la multiplication et l'inversion sont des applications...

• HARMONIQUE ANALYSE

  • Écrit par René SPECTOR
  • 5 540 mots
  ...correspondance entre une fonction de carré intégrable sur [0, 2π] et la suite de ses coefficients de Fourier définit un isomorphisme isométrique entre l'espace de Hilbert L²([0, 2π]) et l'espace de Hilbert l² des suites de carré intégrable (les structures hilbertiennes des deux espaces ci-dessus sont définies...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 2 médias
  ...première fois apparaît clairement la condition que la somme des carrés des séries envisagées soit convergente, ce qui est devenu le point de départ de l'espace de Hilbert. Ce dernier mène systématiquement la recherche des spectres continus et discrets et la recherche des fonctions propres correspondantes....

• NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par Jean-Luc SAUVAGEOT et René SPECTOR
  • 4 664 mots
  (2) L'algèbre L(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H (l'involution étant l'opérateur d'adjonction relatif au produit scalaire de H) ;

• NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par Robert ROLLAND et Jean-Luc VERLEY
  • 5 845 mots
  ...chap. 3) n'est autre que l'espace L^p ([a, b], K) des classes de fonctions à valeurs dans K, de puissance p-ième intégrale sur[a, b]pour la mesure de Lebesgue (cf. intégration et mesure, chap. 4). Pour p = 2 on obtient un espace de Hilbert, la norme étant associée au produit scalaire :

  

• ORTHOGONAUX POLYNÔMES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 2 255 mots
  ...vectoriel :

  

  est dense dans L²(E). Enfin, E est de dimension finie si λ ≠ 0. Il existe donc une suite (λ_n) de nombres réels convergeant vers 0 et une base hilbertienne (ϕ_n) de L²(E) telles que, pour tout entier n, U_k (ϕ_n) = λ_n ϕ_n. Une telle base (ϕ_n) s'appelle système orthogonal associé...

• RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

  • Écrit par Béla SZŐKEFALVI-NAGY
  • 1 491 mots
  David Hilbert (cf. espace de hilbert) avait montré que l'espace l² des suites numériques c = (c₁, c₂, ...) de carré sommable, muni de la norme :

  

  et de la distance :

  

  est un espace vectoriel métrique complet (c'est-à-dire vérifiant la condition de Cauchy pour la convergence). Frédéric Riesz...

• SCIENCES ET PHILOSOPHIE

  • Écrit par Alain BOUTOT
  • 17 713 mots
  • 6 médias
  ...non pas dans l'espace temps ordinaire, mais dans un espace mathématique abstrait, un espace vectoriel de dimension infinie, qu'on appelle un «  espace de Hilbert ». Celui-ci représente l'ensemble de tous les états possibles de la particule. Intéressons-nous plus particulièrement à la position de...

• SPECTRALE THÉORIE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 4 678 mots
  Soit E un espace hilbertien et u un endomorphisme continu de E. Supposons que u est normal, c'est-à-dire que u*u = uu* (l'importance de cette classe d'endomorphismes provient du fait que les endomorphismes hermitiens, antihermitiens ou unitaires sont normaux). Alors la norme de u...

• STONE MARSHALL HARVEY (1903-1989)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 289 mots

  Après ses études à l'université Harvard, Marshall Harvey Stone enseigna dans diverses universités : Columbia (1925-1927), Yale (1931-1933), Harvard (1927-1931, puis 1933-1946) et Chicago (depuis 1944). Il fut élu membre de la National Academy of Sciences en 1938 et président de l'American Mathematical...