ZÊTA FONCTION

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• ZÊTA FONCTION

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 2 951 mots

  Issues d'un calcul formel d'Euler, la « fonction zêta » de Riemann et les « fonctions L » de Dirichlet ont été jusqu'ici les outils analytiques les plus puissants pour étudier la répartition et les propriétés des nombres premiers (cf. théorie desnombres - Théorie analytique...

• ARTIN EMIL (1898-1962)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 319 mots
  ...l'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui généralise la fonction zêta de Riemann (obtenue lorsque K est le corps des nombres rationnels). Généralisant un résultat...

• BOHR HARALD (1887-1951)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 130 mots

  Né à Copenhague, frère du physicien Niels Bohr, Harald Bohr devint professeur à l'institut polytechnique de Copenhague, en 1915, puis à l'Université de cette ville, en 1930.

  Ses premiers travaux portent sur les séries de Dirichlet. En liaison avec E. Landau, il étudie la fonction...

• GAMMA FONCTION

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 580 mots
  • 2 médias
  ...La fonction gamma permet ainsi de ramener certains problèmes d'arithmétique multiplicative à des problèmes additifs. En particulier, la célèbre fonction zêta, intervenant dans la théorie des nombres premiers, peut s'écrire sous la forme :

  

  qui est à la base de la théorie de Riemann (cf....

• HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 401 mots
  ...L'étude du genre des fonctions entières conduit Hadamard aux grands problèmes de la théorie des nombres. Dans un mémoire de 1896, il montre que la fonction zêta n'a pas de zéros sur la droite Re z = 1. Ce résultat lui permet d'obtenir la première démonstration complète du fameux théorème,...

• HARDY GODFREY HAROLD (1877-1947)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 438 mots

  Mathématicien anglais, né à Granleigh, dans le Surrey, et mort à Cambridge. Godfrey Harold Hardy fit ses études au Trinity College de Cambridge, où il enseigna de 1906 à 1919. En 1908, il découvre, en même temps que le physicien W. Weinberg, mais indépendamment de lui, la loi de Hardy-Weinberg,...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 731 mots
  • 2 médias
  C'est sans doute l'une des plus célèbres conjectures mathématiques que celle de Riemann sur les zéros de lafonction ζ. Rappelons qu'on a par définition :

  

  qui définit une fonction méromorphe dans le plan complexe, avec des zéros simples, dits « triviaux » aux points — 2, — 3, ... Riemann...

• INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 194 mots
  • 1 média

  C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L'Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction...

• LANDAU EDMUND (1877-1938)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 324 mots

  Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen...

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 7 748 mots
  • 1 média
  À ces diverses fonctions multiplicatives correspondent des séries formelles de Dirichlet, en premier lieu la série zêta :

  

  et on montre que les séries formelles de Dirichlet correspondant aux autres fonctions multiplicatives s'expriment à l'aide de la série zêta par :

  

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 13 001 mots
  ...Kummer a donné une formule pour l'ordre h du groupe des classes de diviseurs des entiers cyclotomiques ; il se sert d'une fonction analogue à la fonction zêta (cf. fonction zêta) :

  

  (où A parcourt l'ensemble des diviseurs et P celui des diviseurs premiers) et de son comportement pour s ...

• PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par Daniel DUGUÉ
  • 11 842 mots
  • 6 médias
  ...même façon que la probabilité pour que k nombres choisis au hasard soient premiers entre eux est 1/ζ(k). Ce problème est donc étroitement lié à la fonction ζ(s) de Riemann (cf. fonction zêta). On sait que :

  

  la probabilité pour que quatre nombres pris au hasard soient premiers entre eux est égale...

• RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 000 mots
  La partie, célèbre entre toutes, de l'œuvre de Riemann concernant la fonction ζ tient en une dizaine de pages, adressées en 1859 à l'Académie de Berlin, qui venait de l'élire membre correspondant.

• SELBERG ATLE (1917-2007)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 277 mots

  Mathématicien norvégien, lauréat de la médaille Fields en 1950 pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 14 juin 1917 à Langesund (Norvège), mort le 6 août 2007 à Princeton, Atle Selberg fait ses études supérieures à l'université d'Oslo, où il obtient son doctorat en 1943. Chercheur à Oslo...