FONCTIONS ANALYTIQUES

Articles

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Vue d'ensemble

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 1 127 mots

  Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante :

  

  Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xvii^e siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques,...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 12 743 mots
  • 9 médias
  

  On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 5 285 mots
  • 10 médias
  

  La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 098 mots
  • 1 média
  

  Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xix^e siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par André MARTINEAU et Henri SKODA
  • 8 347 mots

  La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part...

• FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 269 mots
  • 1 média

  Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...

• PRIX ABEL 2016

  • Écrit par Yves GAUTIER
  • 1 168 mots
  • 2 médias
  Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)² f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 528 mots
  ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x²) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x₀= 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x₀ où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...

• ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 5 036 mots
  • 1 média
  ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...

• ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 6 250 mots
  • 1 média
  ...) = e^tReh(x+iy), appelé le relief de e^th(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...

• BOREL ÉMILE (1871-1956)

  • Écrit par Maurice FRÉCHET
  • 2 290 mots
  Sommation des séries divergentes.L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie...

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par Martin ZERNER
  • 5 367 mots
  Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme :

  

  où Φ est une fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par ...

• DISSERTATIONS (B. Riemann)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 215 mots
  • 1 média

  La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...

• DISTRIBUTIONS, mathématiques

  • Écrit par Paul KRÉE
  • 4 973 mots
  • 1 média
  Les distributions peuvent servir à étudier le comportement des fonctions analytiques ; voici un exemple simple d'une telle situation.

• FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 18 453 mots
  • 6 médias
  Ce phénomène est à l'origine du concept de fonction analytique réelle : ce sont les fonctions de classe C∞ dans un intervalle ouvert I de R développables en série de Taylor au voisinage de chaque point a de I. Ces fonctions peuvent être caractérisées parmi les fonctions C∞ dans I à l'aide d'inégalités...

• HAAR ALFRÉD (1885-1933)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 412 mots

  Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg...

• HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 401 mots
  Les premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière :

  

  à partir des propriétés de la suite (a_n) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 2 médias
  ...Hilbert fait alors deux propositions, dont la première a connu un tel succès qu'il est à peine nécessaire de la mentionner : Choisir pour classe celle des fonctions analytiques. Par contre, la seconde proposition mérite un instant de réflexion : Hilbert suggère qu'on s'intéresse à la classe des fonctions...

• LANDAU EDMUND (1877-1938)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 324 mots

  Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen...

• LERAY JEAN (1906-1998)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 417 mots

  Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment....

• MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 187 mots

  Mathématicien suédois, né à Stockholm, dont les travaux portent principalement sur la théorie des équations linéaires homogènes et sur la théorie des fonctions analytiques. On lui doit notamment le célèbre théorème (qui porte son nom) sur la représentation des fonctions méromorphes par des séries...

• MONTEL PAUL (1876-1975)

  • Écrit par Pierre LELONG
  • 1 016 mots

  Mathématicien français né à Nice et mort à Paris. À dix-huit ans, Paul Montel entre à l'École normale supérieure. Il sera, dans la promotion 1894, le condisciple de Paul Langevin et d'Henri Lebesgue, qui tous deux demeureront ses amis. Après l'agrégation et le service militaire à...

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 4 678 mots
  On peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe).

• NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par Jean-Luc SAUVAGEOT et René SPECTOR
  • 4 664 mots
  Soit A une algèbre normée commutative unitaire semi-simple, a un élément de A et f une fonction analytique définie sur un voisinage du spectre de a. Il existe un élément b de A, et un seul, tel que ∧b = f ∘ ∧a.

• POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par Gérard BESSON , Christian HOUZEL et Michel PATY
  • 6 137 mots
  • 2 médias
  Poincaré apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique)...

• PÓLYA GEORGE (1887-1985)

  • Écrit par Jean-Pierre KAHANE
  • 1 904 mots

  George Pólya est une des grandes figures mathématiques du xx^e siècle : par l'étendue et la variété de son œuvre, par sa personnalité, par sa popularité. Héritier de la tradition hongroise, homme d'esprit et de culture, passionné par la science et par l'enseignement, il fut l'un des grands savants...