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GROUPES, mathématiques

Articles

  • GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

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    • 770 mots

    Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques...

  • GROUPES (mathématiques) - Généralités

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    • 5 976 mots
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    Groupe des symétries du cube - crédits : Encyclopædia Universalis France

    On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés...

  • GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

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    Simplicité du groupe O+ - crédits : Encyclopædia Universalis France

    Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique...

  • GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

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    Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques(1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius...

  • GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

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    • 3 633 mots

    Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles...

  • GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

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    La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles...

  • ALGÈBRE

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    • 7 143 mots
    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

  • BOREL ARMAND (1923-2003)

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    En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...

  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

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    • 394 mots

    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

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    • 1 402 mots
    • 1 média
    ...valeurs propres d'une matrice symétrique d'ordre supérieur à 3, et il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants. Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des...

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

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    • 1 407 mots
    Larichesse de l'approche de Cayley apparaît dès ses premiers travaux sur la théorie des groupes (1854). Jusque-là, seuls les groupes de substitution étaient utilisés. Cayley, abordant les travaux de Galois, Gauss et Cauchy avec les méthodes des algébristes anglais, donne une définition des groupes abstraits...

  • CHAMPS THÉORIE DES

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    • 4 463 mots
    • 1 média
    ...» eiaQ où Q est l'opérateur « charge électrique ». L'ensemble des multiplications par les facteurs eiaQ ayant la structure d'un groupe appelé U(1) par les mathématiciens, on parle d'invariance de jauge U(1). L'électrodynamique quantique peut alors se construire comme la...

  • CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)

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    • 260 mots

    Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa...

  • DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)

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    • 385 mots
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    Les travaux du mathématicien français Jean Dieudonné concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre.

    Né le 1er juillet 1906 à Lille, Jean Dieudonné passe une année au Royaume-Uni en 1919 et une fin d’études secondaires au lycée Faidherbe de Lille, avant d’intégrer...

  • FROBENIUS GEORG FERDINAND (1849-1917)

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    • 532 mots

    Mathématicien allemand, connu en particulier pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 26 octobre 1849 à Charlottenburg, près de Berlin (Prusse), Georg Ferdinand Frobenius était le fils d'un pasteur protestant. Après des études secondaires au lycée Joachimsthal de Berlin, il passe un semestre...

  • GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

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    • 2 062 mots
    • 1 média
    ...équations binômes xn − a = 0 et les racines primitives de l'unité qui laisse pressentir l'utilisation par Galois de la théorie des groupes. Si on ajoute qu'en 1830 Cauchy vient de formuler la notion de groupe de permutations d'un ensemble fini, on conçoit où en étaient les problèmes...

  • GÉNÉRATEUR, mathématique

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    • 985 mots

    Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux...

  • GÉOMÉTRIE

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    • 10 631 mots
    • 4 médias
    Le rôle des transformations, en géométrie, ne fut pleinement compris que lorsque Klein leur associa la notion de groupe (cf. groupes [mathématiques]– Groupes classiques et géométrie), introduite par Évariste Galois (1811-1832) en 1830, et diffusée seulement en 1870 par le Traité des substitutions...

  • GROUPES DE GALOIS

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    • 178 mots

    L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement...

  • LIE GROUPES DE

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    • 176 mots

    La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux...

  • HALL PHILIP (1904-1982)

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    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 11 avril 1904 à Hampstead près de Londres, abandonné par son père dès sa naissance, Philip Hall passe son enfance dans un milieu pauvre et fait ses études élémentaires au Christ's Hospital de Londres. Élève brillant, il est admis...

  • HIGMAN GRAHAM (1917-2008)

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    • 358 mots

    Mathématicien britannique spécialiste de la théorie des groupes né le 19 janvier 1917, mort le 8 avril 2008. Fils d'un pasteur de l'Église anglicane, Graham Higman fait des études secondaires à Plymouth, puis obtient une bourse pour étudier à l'université d'Oxford. Il y accomplit son travail de thèse...

  • INVARIANT, mathématique

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    • 1 735 mots

    À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax2 + 2bxy + cy2 + 2ux + 2vy + w = 0. Comment reconnaître...

  • KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997)

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    • 255 mots

    Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la ...

  • LIE SOPHUS (1842-1899)

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    • 1 315 mots
    ...invariants en analyse et en géométrie différentielle, et c'est de cette époque, d'après son propre témoignage, que datent les premières idées de Lie sur les groupes de transformations. Dans un mémoire de 1870, écrit en commun, Lie et Klein étudient systématiquement les sous-groupes à un paramètre du groupe...

  • MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

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    • 635 mots

    Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik...

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