INTÉGRATION ET MESURE

Articles

• INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par André REVUZ
  • 6 059 mots

  La théorie de l'intégration joue en mathématique un rôle extrêmement important. C'est une théorie riche et complexe. Il ne sera pas question ici d'en donner une description exhaustive ni d'en aborder les assez redoutables aspects techniques. On s'efforcera de mettre en lumière les grandes idées...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 528 mots
  La conception de l'intégrale au xviii^e siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f (x), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b, l'intégrale :

  

  était l'aire comprise entre la courbe y = f (x), l'axe Ox et les deux droites x...

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par René TATON
  • 11 465 mots
  • 3 médias
  ... siècle, un calcul équivalant à la détermination de l'intégrale :

  

  et cela par un procédé qui revient à diviser l'intervalle d' intégration en éléments formant une progression arithmétique. Le calcul du volume du solide de révolution engendré par la rotation d'un segment de parabole...

• ERGODIQUE THÉORIE

  • Écrit par Antoine BRUNEL
  • 3 277 mots
  ...ce qui explique l'emploi du terme ergodique. L'une quelconque de ces variétés sera pour nous le récipient Ω du modèle de Poincaré. L'invariance de la mesure, lorsque les paramètres décrivant l'état de S sont convenablement choisis, est assurée par un résultat général dû à Liouville. Le physicien...

• FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 18 453 mots
  • 6 médias
  Les convergences avec conditions sur les supports jouent un rôle important dans les problèmes liés au calcul intégral et à ses extensions (mesures de Radon et distributions).

• KHINTCHINE ALEXANDRE IAKOVLEVITCH (1894-1959)

  • Écrit par Encyclopædia Universalis
  • 290 mots

  Mathématicien soviétique, né à Kondrovo et mort à Moscou, membre correspondant de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S., professeur à l'université de Moscou, prix Staline (1941). Ses premiers travaux concernent la théorie des fonctions d'une variable réelle, où il introduit la notion de dérivée...

• LEBESGUE HENRI (1875-1941)

  • Écrit par Lucienne FÉLIX
  • 2 230 mots

  Le mathématicien Henri Lebesgue est l'un des fondateurs de l'analyse moderne. Presque tous ses travaux se rattachent à la théorie des fonctions de variables réelles. Sa conception de l' intégration et de la mesure renouvelle l'étude des problèmes classiques et ouvre les voies de l'analyse fonctionnelle...

• NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par Robert ROLLAND et Jean-Luc VERLEY
  • 5 845 mots
  Rappelons qu'une fonction mesurable définie sur[a, b]à valeurs dans K (cf. intégration et mesure, chap. 3) est dite essentiellement bornée par M si la mesure de l'ensemble des x tels que |f (x)| > M est nulle ; la borne supérieure essentielle, notée ∥f ∥_∞, est le...

• OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 506 mots

  Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes,...

• PASCAL BLAISE (1623-1662)

  • Écrit par Dominique DESCOTES et François RUSSO
  • 8 436 mots
  • 4 médias
  La contribution de Pascal au calcul infinitésimal porte surtout sur l'intégration. Avant lui, plusieurs mathématiciens, principalement Cavalieri et Fermat, avaient trouvé la formule d'intégration de x_m pour m entier positif. Fermat avait même étendu la formule à tout m rationnel différent...

• PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par Daniel DUGUÉ
  • 11 838 mots
  • 6 médias
  ...sera non décroissante continue mais non absolument continue ; on prendra F₂ telle qu'elle ne soit susceptible de variation que sur un ensemble de mesure nulle. Un exemple classique de cette dernière situation est la fonction attachée à l'ensemble triadique de Cantor : le nombre x étant...

• RADON JOHANN (1887-1956)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 423 mots

  Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier.

  Né à Tetschen (Bohême), Johann...

• RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

  • Écrit par Béla SZŐKEFALVI-NAGY
  • 1 491 mots
  ...Cauchy pour la convergence). Frédéric Riesz et Ernst Fischer ont démontré, en 1907, indépendamment l'un de l'autre, que l'espace L²([a, b]) des classes de fonctions x mesurables et de carré sommable au sens de Lebesgue sur[a, b]jouit de propriétés analogues si l'on y définit la norme de x par...

• SPECTRALE THÉORIE

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
  • 4 678 mots
  Les mesures μ_x,y s'appellent mesures spectrales associées à u. On dit qu'une fonction f définie sur sp(u) à valeurs complexes est u-mesurable si, pour tout couple (x, y) d'éléments de E, cette fonction est μ_x,y-mesurable. On note L^∞(u) l'algèbre des classes de fonctions ...

• STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 494 mots

  Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois...

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