RÉELS NOMBRES

Articles

• RÉELS NOMBRES

  • Écrit par Jean DHOMBRES
  • 14 916 mots

  Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence...

• PRIX ABEL 2016

  • Écrit par Yves GAUTIER
  • 1 168 mots
  • 2 médias
  L’équation d’une courbe elliptique peut être mise sous une forme simple : y² = x³ + ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels.

• ALGORITHME

  • Écrit par Alberto NAIBO et Thomas SEILLER
  • 5 919 mots
  • 4 médias
  ...retrouve ainsi l’idée d’un algorithme comme étant libéré de la représentation des entités sur lesquelles il opère : ces algorithmes opèrent notamment sur les nombres réels et un nombre réel n’est pas forcément représentable par une suite finie de symboles. De plus, effectuer un calcul sur les réels ne garantit...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 528 mots
  ...À cette occasion, Bolzano et Cauchy dégagent le critère fondamental (dit «  critère de Cauchy ») d'existence de la limite d'une suite (u_n) de nombres réels : pour tout ε > 0, il existe un entier n₀ tel que, si m et n sont tous deux au moins égaux à n₀, on a |u_m − u_n| ≤ ε (autrement dit, à partir...

• BOLZANO BERNARD (1781-1848)

  • Écrit par Jan SEBESTIK
  • 3 609 mots
  Lapartie la plus remarquable de la Reine Zahlenlehre traite des nombres réels (« grandeurs mesurables » selon la terminologie de Bolzano). Bolzano commence par définir les « expressions numériques infinies » (utilisées par Euler) qu'on peut interpréter, avec B. van Rootselaar, comme suites des résultats...

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par Roger GODEMENT
  • 10 932 mots
  • 6 médias
  Nous désignerons par R l'ensemble des nombres réels  ; il nous suffira de savoir qu'un nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 59. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que...

• CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
  • 2 886 mots
  • 1 média
  ...théorie des séries trigonométriques » publié en 1872 dans les Mathematische Annalen. Pour les besoins de sa démonstration, Cantor expose d’abord sa théorie des nombres réels. Partant de l’ensemble Q des nombres rationnels, il considère des suites (a_i) d’éléments de Qobéissantau critère...

• CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 713 mots

  Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Saxe, Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles.

  Né à Saint-Pétersbourg (Russie) d'un père danois et d'une mère autrichienne, Cantor réside avec...

• CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 1 391 mots

  Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix^e siècle et surtout le début du xx^e, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...

• CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par Patrick DEHORNOY
  • 2 220 mots
  Cantor a fondé la théorie des ensembles à la fin du xix^e siècle en montrant qu'il existe plus de nombres réels que d'entiers, et donc des infinis de tailles différentes. Le problème du continu est la question : toute partie infinie de ℝ est-elle en bijection avec ℕ ou ℝ ?

• CONTINU & DISCRET

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 7 672 mots
  ...Lorsqu'on parle du continu substantivement donc, on se réfère le plus souvent, de manière informelle, à la détermination essentielle de l'ensemble R des nombres réels, substrat de l'« analyse réelle », et dont la conquête fut si importante pour les mathématiques et la physique. Dans cette acception le...

• CONTINUITÉ, mathématique

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 1 237 mots
  L'ensemble des nombres réels ℝ pouvant se représenter par une droite, ou, plus exactement, la courbe représentative de l'application identique de ℝ dans ℝ étant une droite, on dit que ℝ a la « puissance du continu », par opposition à l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ, qui a la « puissance du...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 2 médias
  ...avec l'analyse, c'est-à-dire avec la théorie des nombres réels. Dans Über den Zahlbegriff(1900), Hilbert a remplacé la construction génétique des nombres réels (constructions successives à partir des entiers positifs, des entiers relatifs et des nombres rationnels) jusqu'alors usuelle, par une construction...

• INFINI, mathématiques

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 372 mots
  Nous pouvons l'écrire en raison de la loi de constitution de la suite (1/2ⁿ), et parce que nous disposons, sur l'ensemble des nombres réels, d'une définition purement analytique de la convergence. Il n'en allait pas de même aux origines du « calcul » où le concept de série infinie restait encore,...

• INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par André REVUZ
  • 6 059 mots
  ...part et l'échelle avec laquelle on mesure d'autre part, et de concevoir clairement ce qui les lie. L'échelle est constituée par le corps ordonné R des nombres réels (cf. nombres réels), dont la théorie définitive n'a été élaborée qu'à la fin du xix^e siècle (G. Cantor, R. Dedekind),...

• LIMITE NOTION DE

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 1 186 mots

  La notion de limite fait son apparition dans un ouvrage du mathématicien anglais B. Robins intitulé A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Method of Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735) ; c'est une réponse aux critiques formulées par le philosophe...

• NOMBRES

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 1 762 mots
  Une suite de Cauchy d'éléments de ℚ – c'est-à-dire une fonction f de ℕ dans ℚ telle que, quel que soit ε > 0_ℚ, il existe un M appartenant à ℕ tel que, quels que soient m et n supérieurs à M, la valeur absolue de f (m) – f (n) est inférieure à ε – n'ayant...

• NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 3 421 mots
  • 2 médias
  Dans le plan muni de deux axes de coordonnées Ox et Oy, on dira que les vecteurs d'origine O portés par Ox définissent les nombres réels, tandis que les autres vecteurs d'origine O définissent les nombres imaginaires ; le terme nombres complexes recouvre à la fois les nombres réels et les nombres...

• NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 5 567 mots
  ...puisqu'ils ont les mêmes propriétés opératoires. Dans le Traité des incommensurables grandeurs (paru en 1634), Stevin approfondit la notion théorique de nombre réel ; il affirme que les difficultés rencontrées par les mathématiciens dans la mesure des grandeurs (cf. Euclide, livre X) viennent du fait «...

• STEVIN SIMON (1548-1620)

  • Écrit par Frédéric de BUZON
  • 1 492 mots
  • 1 média
  ...propos : « Qu’il n’y a aucun nombres absurdes, irrationnels, irréguliers, inexplicables, ou sourds ». Cette conception nouvelle de l’arithmétique préfigure la théorie des nombres réels (nommés « nombres géométriques » par Stevin) et leur représentation approchée, comme le souligneront les Éléments...

• STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 494 mots

  Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois...

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