VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Articles

• VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par Claude MORLET
  • 9 807 mots
  • 7 médias
  

  On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.  Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde...

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 5 442 mots
  Les « images » et « noyaux » des applications différentiables satisfaisant aux énoncés précédents sont localement des morceaux de « variétés différentiables », qui devront être convenablement recollés pour aboutir à une théorie globale.

• COSMOLOGIE

  • Écrit par Marc LACHIÈZE-REY
  • 9 300 mots
  • 6 médias
  ...propriétés structurales inhabituelles de cette géométrie. Les mathématiciens appellent variété, et plus particulièrement, dans le cas qui nous occupe, variété différentiable ou riemannienne, un tel espace généralisé. On peut dire que la variété espace-temps est aussi complexe (et donc riche en structures),...

• DONALDSON SIMON KIRWAN (1957- )

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 331 mots

  Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1986. Né le 20 août 1957 à Cambridge (Grande-Bretagne), Simon Kirwan Donaldson fait ses études supérieures au Pembroke College de Cambridge et au Worcester College d'Oxford où il soutient sa thèse de doctorat en 1983. Il occupe ensuite...

• ESPACE, mathématique

  • Écrit par Jean-Marc SCHLENKER
  • 1 670 mots
  Ces considérations prennent une extension considérable en 1846 dans le mémoire d'habilitation de Bernhard Riemann.Riemann, loin de se restreindre à considérer des surfaces dans l'espace, introduit des objets de dimension quelconque (qu'on appelle aujourd'hui variétés différentielles...

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par André MARTINEAU et Henri SKODA
  • 8 347 mots
  ...variété algébrique (contrairement au cas de la dimension 1) et n'est donc pas plongeable dans un espace projectif comme sous-variété régulière. Parmi les variétés analytiques compactes, les variétés algébriques ont des propriétés très particulières : elles sont kahlériennes. Cela a permis de faire progresser...

• GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

  • Écrit par Paulette LIBERMANN
  • 6 997 mots
  • 12 médias
  ...représentations paramétriques telles que V_ij = ϕ_i(U_i) ∩ ϕ_j(U_j) ne soit pas vide, le changement de paramètre ϕ_j^-1∘ ϕ_i est un difféomorphisme de classe C^k de ϕ_i^-1(V_ij) sur ϕ_j^-1(V_ij). Ces considérations conduisent directement à la notion devariété différentiable générale.

• INVARIANT, mathématique

  • Écrit par Nicole BERLINE
  • 1 735 mots
  La dimension d'une variété différentielle est un invariant local par homéomorphisme. De plus, deux variétés de même dimension sont localement isomorphes ; pour les distinguer, il faut faire appel à des invariants globaux qui dépendent, au contraire, de la variété tout entière tels que le genre d'une...

• MORSE HAROLD CALVIN MARSTON (1892-1977)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 1 048 mots

  Mathématicien américain, né à Waterville (Massachusetts), Marston Morse était parent de Samuel F. Morse, l'inventeur du télégraphe. Il fit ses études supérieures à Harvard, où il fut l'élève de G. D. Birkhoff.

  Après quelques années aux universités Cornell (Ithaca, New York)...

• NOVIKOV SERGUEÏ PETROVITCH (1938-2024)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 288 mots

  Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en topologie. Né le 20 mars 1938 à Gorki (Russie), Sergueï Novikov fait ses études à l'université d'État de Moscou puis à l'Institut de mathématiques Steklov (Moscou), où il soutient sa thèse de doctorat en 1964. Professeur...

• POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

  • Écrit par Jean Paul DUFOUR
  • 9 088 mots
  • 2 médias
  A priori les équations précédentes n'ont de sens que lorsque les variables (q₁, ..., q_n) varient dans un ouvert de ℝⁿ, mais,même dans des cas classiques comme la mécanique du corps solide, l'espace des configurations est plus compliqué : c'est une variété différentiable (cf. ...

• PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 732 mots

  Espace projectif. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par :

  

  La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/G est appelé espace projectif...

• RICCI-CURBASTRO GREGORIO (1853-1925)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 292 mots

  Mathématicien italien, né à Lugo (région de Ravenne) et mort à Bologne, créateur du calcul tensoriel (ainsi dénommé par A. Einstein en 1916). Ce « calcul » s'est révélé un outil fondamental dans cette fusion de l'analyse, de la géométrie et de la physique théorique...

• RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 000 mots
  ...est susceptible une variété à n dimensions », chacun d'eux étant déterminé par un élément linéaire ds, racine carrée d'une forme quadratique définie positive en dx₁, ..., dx_n, à coefficients fonctions continues de x : il s'agit donc maintenant de variétés différentiables.

• SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • Écrit par Alain CHENCINER
  • 9 832 mots
  • 19 médias

  De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est...

• SMALE STEPHEN (1930- )

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 322 mots

  Mathématicien américain né le 15 juillet 1930 à Flint (Michigan). Après des études à l'université du Michigan (où il passa son doctorat en 1956), Stephen Smale enseigna à l'université Columbia (1961-1964), puis à Berkeley à partir de 1964. En 1966, il reçut le prix Veblen de l'American Mathematical...

• THOM RENÉ (1923-2002)

  • Écrit par David AUBIN
  • 987 mots

  Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1958, René Thom laisse une empreinte profonde sur sa discipline. Père de la « théorie des catastrophes », il a été l'un des premiers mathématiciens à avoir tiré les conséquences philosophiques de la topologie moderne. Si son esprit provocateur...

• TOPOLOGIE - Topologie algébrique

  • Écrit par Claude MORLET
  • 8 119 mots
  • 1 média
  1. Soit B une variété différentiable de dimension n et soit Y la variété de ses vecteurs tangents. En associant à tout vecteur tangent son point de contact, on peut définir un fibré ϕ : Y → B qui a pour fibre Rⁿ ; il est localement trivial, car, pour tout ouvert de coordonnées U de...

• WHITEHEAD JOHN HENRY CONSTANTINE (1904-1960)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 220 mots

  Né à Madras, neveu du philosophe et logicien Alfred North Whitehead, J. H. C. Whitehead fit ses études à Oxford ; il y rencontra, en 1920, O. Veblen, avec qui il collabora pendant trois ans à Princeton. Whitehead enseigna à l'université d'Oxford de 1932 à 1946 ; il passa ensuite une année à...

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